【考点】6E：利用导数研究函数的最值； 6 H ：利用导数研究曲线上某点切线方程。
【专题】2：创新题型；53：导数的综合应用．
【分析】（i）$f^{\prime}(x)=3 x^{2}+a$ ．设曲线 $y=f(x)$ 与 $x$ 轴相切于点 $P\left(x_{0}, 0\right)$ ，则 $f(x 0)=0, f^{\prime}\left(x_{0}\right)=0$ 解出即可。
（ii）对 $x$ 分类讨论：当 $x \in(1,+\infty)$ 时，$g(x)=-\ln x<0$ ，可得函数 $h(x)=m i n\{f(x), g(x)\} \leq g(x)<0$ ，即可得出零点的个数。
当 $x=1$ 时，对 $a$ 分类讨论：$a \geq-\frac{5}{4}, a<-\frac{5}{4}$ ，即可得出零点的个数；
当 $x \in(0,1)$ 时，$g(x)=-\ln x>0$ ，因此只考虑 $f(x)$ 在（ 0,1 ）内的零点个数即可．对 $a$ 分类讨论：①当 $a \leq-3$ 或 $a \geq 0$ 时，②当 $-3【解答】解：（i）$f^{\prime}(x)=3 x^{2}+a$ ．
设曲线 $y=f(x)$ 与 $x$ 轴相切于点 $P\left(x_{0}, 0\right)$ ，则 $f\left(x_{0}\right)=0, f^{\prime}\left(x_{0}\right)=0$ ，
$\therefore\left\{\begin{array}{l}x_{0}^{3}+a x_{0}+\frac{1}{4}=0 \\ 3 x_{0}^{2}+a=0\end{array}\right.$ ，解得 $x_{0}=\frac{1}{2}, a=-\frac{3}{4}$ ．
因此当 $a=-\frac{3}{4}$ 时，$x$ 轴为曲线 $y=f(x)$ 的切线；
（ii）当 $x \in(1,+\infty)$ 时，$g(x)=-\ln x<0$ ，
∴ 函数 $h(x)=\min \{f(x), g(x)\}<0$ ，
故 $h(x)$ 在 $x \in(1,+\infty)$ 时无零点．
当 $x=1$ 时，若 $a \geq-\frac{5}{4}$ ，则 $f①=a+\frac{5}{4} \geq 0$ ，
$\therefore h(x)=\min \{f(1), g(1)\}=g(1)=0$ ，故 $x=1$ 是函数 $h(x)$ 的一个零点；
若 $\mathrm{a}<-\frac{5}{4}$ ，则 $\mathrm{f}(1)=\mathrm{a}+\frac{5}{4}<0, \therefore \mathrm{~h}(\mathrm{x})=\min$
$f(1), g(1)\}=f(1)<0$ ，故 $x=1$ 不是函数 $h(x)$ 的零点；
当 $x \in(0,1)$ 时，$g(x)=-\ln x>0$ ，因此只考虑 $f(x)$ 在（ 0,1 ）内的零点个数即可。
（1）当 $a \leq-3$ 或 $a \geq 0$ 时，$f^{\prime}(x)=3 x^{2}+a$ 在（ 0,1 ）内无零点，因此 $f(x)$ 在区间（0 ，1）内单调，
而 $f(0)=\frac{1}{4}, f(1)=a+\frac{5}{4}, \therefore$ 当 $a \leq-3$ 时，函数 $f(x)$ 在区间 $(0,1)$ 内有一个零点，
当 $\mathrm{a} \geq 0$ 时，函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 在区间 $(0,1)$ 内没有零点．
②当 $-3若 $f\left(\sqrt{\frac{-a}{3}}\right)>0$ ，即 $\frac{3}{4}若 $f\left(\sqrt{\frac{-a}{3}}\right)=0$ ，即 $a=-\frac{3}{4}$ ，则 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 内有唯一零点。
若 $\mathrm{f}\left(\sqrt{\frac{-\mathrm{a}}{3}}\right)<0$ ，即 $-3<\mathrm{a}<-\frac{3}{4}$ ，由 $\mathrm{f}(0)=\frac{1}{4}, \mathrm{f}(1)=\mathrm{a}+\frac{5}{4}$ ，
∴ 当 $-\frac{5}{4}综上可得：$a<-\frac{5}{4}$ 时，函数 $h(x)$ 有一个零点。
当 $a>-\frac{3}{4}$ 时，$h(x)$ 有一个零点；
当 $a=-\frac{3}{4}$ 或 $-\frac{5}{4}$ 时，$h(x)$ 有两个零点；
当 $-\frac{5}{4}【点评】本题考查了导数的运算法则、利用导数的几何意义研究切线方程、利用导数研究函数的单调性极值，考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力，属于难题。