（本小题满分 12 分） 已知函数 f(x)=x+ a x…——2008 高考数学第 20 题答案解析

【解答】
本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、解不等式等基础知识，考查运算能力、综合分析和解决问题的能力。满分 12 分。
（ I ）解：$f^{\prime}(x)=1-\frac{a}{x^{2}}$ ，由导数的几何意义得 $f^{\prime}(2)=3$ ，于是 $a=-8$ ．

由切点 $P(2, f(2))$ 在直线 $y=3 x+1$ 上可得 $-2+b=7$ ，解得 $b=9$ ．

所以函数 $f(x)$ 的解析式为 $f(x)=x-\frac{8}{x}+9$ ．
（ II ）解：$f^{\prime}(x)=1-\frac{a}{x^{2}}$ ．

当 $a \leqslant 0$ 时，显然 $f^{\prime}(x)>0(x \neq 0)$ ，这时 $f(x)$ 在 $(-\infty, 0),(0,+\infty)$ 内是增函数．
当 $a>0$ 时，令 $f^{\prime}(x)=0$ ，解得 $x= \pm \sqrt{a}$ ．
当 $x$ 变化时，$f^{\prime}(x), f(x)$ 的变化情况如下表：

所以 $f(x)$ 在 $(-\infty,-\sqrt{a}],[\sqrt{a},+\infty)$ 内是增函数，在 $(-\sqrt{a}, 0),(0, \sqrt{a})$ 内是减函数．
（III）解：由（II）知，$f(x)$ 在 $\left[\frac{1}{4}, 1\right]$ 上的最大值为 $f\left(\frac{1}{4}\right)$ 与 $f(1)$ 中的较大者，对于任意的 $a \in\left[\frac{1}{2}, 2\right]$ ，不等式 $f(x) \leqslant 10$ 在 $\left[\frac{1}{4}, 1\right]$ 上恒成立，当且仅当
$\left\{\begin{array}{l}f\left(\frac{1}{4}\right) \leqslant 10, \\ f(1) \leqslant 10,\end{array}\right.$ 即 $\left\{\begin{array}{l}b \leqslant \frac{39}{4}-4 a, \\ b \leqslant 9-a\end{array}\right.$
对任意的 $a \in\left[\frac{1}{2}, 2\right]$ 成立．
从而得 $b \leqslant \frac{7}{4}$ ，所以满足条件的 $b$ 的取值范围是 $\left(-\infty, \frac{7}{4}\right]$ ．