2008 高考数学第 20 题答案解析

20．（本小题满分 12 分）
已知函数 $f(x)=x+\frac{a}{x}+b(x \neq 0)$ ，其中 $a, b \in \mathbf{R}$ ．
（I）若曲线 $y=f(x)$ 在点 $P(2, f(2))$ 处的切线方程为 $y=3 x+1$ ，求函数 $f(x)$ 的解析式；
（II）讨论函数 $f(x)$ 的单调性；
（III）若对于任意的 $a \in\left[\frac{1}{2}, 2\right]$ ，不等式 $f(x) \leqslant 10$ 在 $\left[\frac{1}{4}, 1\right]$ 上恒成立，求 $b$ 的取值范围．