（本小题满分 13 分） 已知 a>0 , 函数 f(x)…——2013 高考数学第 22 题答案解析

【答案】①当 $0 \leq x \leq a$ 时，$f(x)=\frac{a-x}{x+2 a}$；当 $x>a$ 时，$f(x)=\frac{x-a}{x+2 a}$．
因此，当 $x \in(0, a)$ 时，$f^{\prime}(x)=\frac{-3 a}{(x+2 a)^{2}}<0$，所以 $f(x)$ 在 $(0, a)$ 上单调迷减；当 $x \in(a,+\infty)$
时，$f^{\prime}(x)=\frac{3 a}{(x+2 a)^{2}}>0$，所以 $f(x)$ 在 $(a,+\infty)$ 上单调递增；
1、若 $a \geq 4$，则 $f(x)$ 在 $(0,4)$ 上单调䢗减，$g(a)=f(0)=\frac{1}{2}$；
2、若 $0<a<4$，则 $f(x)$ 在 $(0, a)$ 上单调遇减，在 $(a, 4)$ 上单调递增，所以
$g(a)=\max \{f(0), f(4)\}$，从而 $f(0)-f(4)=\frac{a-1}{2+a}$；当 $0<a \leq 1$ 时，$g(a)=f(4)=\frac{4-a}{4+2 a}$；
当 $1<a<4$ 时，$g(a)=g(0)=\frac{1}{2}$，综上所诉，$g(a)=\left\{\begin{array}{l}\frac{4-a}{4+2 a}, 0<a \leq 1 \\ \frac{1}{2}, a>1\end{array}\right.$；
②由①知，当 $a \geq 4$ 时，$f(x)$ 在 $(0,4)$ 上单调速减，故不满足要求；当 $0<a<4$ 时，$f(x)$ 在 $(0, a)$ 上单调迷减，在 $(a, 4)$ 上单调迷增．若存在 $x_{1}, x_{2} \in(0,4)\left(x_{1}<x_{2}\right)$，使曲线 $f(x)$ 在 $\left(x_{1}, f\left(x_{1}\right)\right),\left(x_{2}, f\left(x_{2}\right)\right)$ 两点处的切线相互垂直，则 $x_{1} \in(0, a), x_{2} \in(a, 4)$，且 $f^{\prime}\left(x_{1}\right) \cdot f^{\prime}\left(x_{2}\right)=-1$，即 $\frac{-3 a}{\left(x_{1}+2 a\right)^{2}} \cdot \frac{-3 a}{\left(x_{2}+2 a\right)^{2}}=-1$，亦即 $x_{1}+2 a=\frac{3 a}{x_{2}+2 a}$：由 $x_{1} \in(0, a), x_{2} \in(a, 4)$ 得
$x_{1}+2 a \in(2 a, 3 a), \frac{3 a}{x_{2}+2 a} \in\left(\frac{3 a}{x_{2}+4}, 1\right)$，故＊成立等价于集合 $A=\{x \mid 2 a<x<3 a\}$ 与集合 $B=\left\{x \left\lvert\, \frac{3 a}{x_{2}+4}<x<1\right.\right\}$ 的交集非空：因为 $\frac{3 a}{4+2 a}<3 a$，所以当且仅当 $0<2 a<1$，即 $0<a<\frac{1}{2}$ 时，

$A \cap B=\varnothing$，综上所诉 a 的取值范围是 $\left(0, \frac{1}{2}\right)$
【解析】（1）分类讨论脱掉绝对值以后，利用导数法确定 $g(a)$ 的解析式；②利用导数的几何意义以及不等式的性质将问题转化为集合 $A=\{x \mid 2 a<x<3 a\}$ 与集合 $B=\left\{x \left\lvert\, \frac{3 a}{x_{2}+4}<x<1\right.\right\}$ 的交集

非空即可。

【考点定位】本题考查分段函数、导数与函数的单调性、导数的结合意义、函数与方程思想，考查学生的转化与化归能力以及逻辑推理能力。