已知函数 f(x)=12-x^ 2 ． （I）求曲线 y=…——2020 高考数学第 19 题答案解析

【答案】（ I ） $2 x+y-13=0$ ，（ II ） 32 ．

## 【解析】

【分析】
（I）根据导数的几何意义可得切点的坐标，然后由点斜式可得结果；
（II）根据导数的几何意义求出切线方程，再得到切线在坐标轴上的截距，进一步得到三角形的面积，最后利用导数可求得最值．

【详解】（I ）因为 $f(x)=12-x^{2}$ ，所以 $f^{\prime}(x)=-2 x$ ，
设切点为 $\left(x_{0}, 12-x_{0}\right)$ ，则 $-2 x_{0}=-2$ ，即 $x_{0}=1$ ，所以切点为 $(1,11)$ ，
由点斜式可得切线方程为：$y-11=-2(x-1)$ ，即 $2 x+y-13=0$ ．
（II）显然 $t \neq 0$ ，
因为 $y=f(x)$ 在点 $\left(t, 12-t^{2}\right)$ 处的切线方程为：$y-\left(12-t^{2}\right)=-2 t(x-t)$ ，
令 $x=0$ ，得 $y=t^{2}+12$ ，令 $y=0$ ，得 $x=\frac{t^{2}+12}{2 t}$ ，
所以 $S(t)=\frac{1}{2} \times\left(t^{2}+12\right) \cdot \frac{t^{2}+12}{2|t|}$ ，
不妨设 $t>0$（ $t<0$ 时，结果一样），

则 $S(t)=\frac{t^{4}+24 t^{2}+144}{4 t}=\frac{1}{4}\left(t^{3}+24 t+\frac{144}{t}\right)$ ，
所以 $S^{\prime}(t)=\frac{1}{4}\left(3 t^{2}+24-\frac{144}{t^{2}}\right)=\frac{3\left(t^{4}+8 t^{2}-48\right)}{4 t^{2}}$
$=\frac{3\left(t^{2}-4\right)\left(t^{2}+12\right)}{4 t^{2}}=\frac{3(t-2)(t+2)\left(t^{2}+12\right)}{4 t^{2}}$,
由 $S^{\prime}(t)>0$ ，得 $t>2$ ，由 $S^{\prime}(t)<0$ ，得 $0所以 $S(t)$ 在 $(0,2)$ 上递减，在 $(2,+\infty)$ 上递增，

所以 $t=2$ 时，$S(t)$ 取得极小值，
也是最小值为 $S(2)=\frac{16 \times 16}{8}=32$ 。
【点睛】本题考查了利用导数的几何意义求切线方程，考查了利用导数求函数的最值，属于中档题。