（19）（本小题共14分） 已知 A B C 的顶点 A,…——2008 高考数学第 19 题答案解析

【解答】
（共14分）
解：（I）因为 $A B / / l$ ，且 $A B$ 边通过点 $(0,0)$ ，所以 $A B$ 所在直线的方程为 $y=x$ ．
设 $A, B$ 两点坐标分别为 $\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right)$ ．
由 $\left\{\begin{array}{c}x^{2}+3 y^{2}=4, \\ y=x\end{array}\right.$ 得 $x= \pm 1$,
所以 $|A B|=\sqrt{2}\left|x_{1}-x_{2}\right|=2 \sqrt{2}$ ．
又因为 $A B$ 边上的高 $h$ 等于原点到直线 $l$ 的距离，
所以 $h=\sqrt{2} \cdot S_{\triangle A B C}=\frac{1}{2}|A B| \cdot h=2$ ．
（II）设 $A B$ 所在直线的方程为 $y=x+m$ ．
由 $\left\{\begin{array}{c}x^{2}+3 y^{2}=4, \\ y=x+m\end{array}\right.$ 得 $4 x^{2}+6 m x+3 m^{2}-4=0$ ．
因为 $A, B$ 在椭圆上，
所以 $\Delta=-12 m^{2}+64>0$ ．
设 $A, B$ 两点坐标分别为 $\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right)$ ．
则 $x_{1}+x_{2}=-\frac{3 m}{2}, x_{1} x_{2}=\frac{3 m^{2}-4}{4}$ ，
所以 $|A B|=\sqrt{2}\left|x_{1}-x_{2}\right|=\frac{\sqrt{32-6 m^{2}}}{2}$ ．
又因为 $B C$ 的长等于点 $(0, m)$ 到直线 $l$ 的距离，即 $|B C|=\frac{|2-m|}{\sqrt{2}}$ ．
所以 $|A C|^{2}=|A B|^{2}+|B C|^{2}=-m^{2}-2 m+10=-(m+1)^{2}+11$ ．
所以当 $m=-1$ 时，$A C$ 边最长．（这时 $\Delta=-12+64>0$ ）
此时 $A B$ 所在直线的方程为 $y=x-1$ ．