2012_北京卷 (2012·文)
19．（14 分）已知椭圆 $\mathrm{C}: \frac{\mathrm{x}^{2}}{\mathrm{a}^{2}}+\frac{\mathrm{y}^{2}}{\mathrm{~b}^{2}}=1(\mathrm{a}>\mathrm{b}>0)$ 的一个长轴顶点为 $\mathrm{A}(2,0)$ ，
离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，直线 $y=k(x-1)$ 与椭圆 $C$ 交于不同的两点 $M, N$ ，
（I）求椭圆 C 的方程；
（II）当 $\triangle \mathrm{AMN}$ 的面积为 $\frac{\sqrt{10}}{3}$ 时，求 k 的值．
【考点】K3：椭圆的标准方程； KH ：直线与圆锥曲线的综合．
【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（I）根据椭圆一个顶点为 $\mathrm{A}(2,0)$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，可建立方程组，从而可求椭圆 C 的方程；
（II）直线 $y=k(x-1)$ 与椭圆 $C$ 联立 $\left\{\begin{array}{l}y=k(x-1) \\ \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{2}=1\end{array}\right.$ ，消元可得 $\left(1+2 k^{2}\right) x^{2}-4 k^{2} x+2 k^{2}-4=0$ ，从而可求 $|M N|, A(2,0)$ 到直线 $y=k(x-1)$ 的距离，利用 $\triangle \mathrm{AMN}$ 的面积为 $\frac{\sqrt{10}}{3}$ ，可求 k 的值。
【解答】解：（ I$) \because$ 椭圆一个顶点为 $\mathrm{A}(2,0)$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，
$\therefore\left\{\begin{array}{l}a=2 \\ \frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2} \\ a^{2}=b^{2}+c^{2}\end{array}\right.$
$\therefore \mathrm{b}=\sqrt{2}$
∴ 椭圆 C 的方程为 $\frac{\mathrm{x}^{2}}{4}+\frac{\mathrm{y}^{2}}{2}=1$ ；
（II）直线 $y=k(x-1)$ 与椭圆 $C$ 联立 $\left\{\begin{array}{l}y=k(x-1) \\ \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{2}=1\end{array}\right.$ ，消元可得 $\left(1+2 k^{2}\right) x^{2}-4 k^{2} x+2 k^{2}-4=0$
设 $M\left(x_{1}, y_{1}\right), N\left(x_{2}, y_{2}\right)$ ，则 $x_{1}+x_{2}=\frac{4 k^{2}}{1+2 k^{2}}, x_{1} x_{2}=\frac{2 k^{2}-4}{1+2 k^{2}}$
$\therefore|M N|=\sqrt{1+k^{2}} \times \sqrt{\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}-4 x_{1} x_{2}}=\frac{2 \sqrt{\left(1+k^{2}\right)\left(4+6 k^{2}\right)}}{1+2 k^{2}}$
$\because A(2,0)$ 到直线 $y=k(x-1)$ 的距离为 $d=\frac{|k|}{\sqrt{1+k^{2}}}$
$\therefore \triangle \mathrm{AMN}$ 的面积 $\mathrm{S}=\frac{1}{2}|\mathrm{MN}| \mathrm{d}=\frac{|\mathrm{k}| \sqrt{4+6 \mathrm{k}^{2}}}{1+2 \mathrm{k}^{2}}$
$\because \triangle \mathrm{AMN}$ 的面积为 $\frac{\sqrt{10}}{3}$ ，
$\therefore \frac{|k| \sqrt{4+6 k^{2}}}{1+2 k^{2}}=\frac{\sqrt{10}}{3}$
$\therefore \mathrm{k}= \pm 1$ ．
【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，解题的关键是正确求出 $|\mathrm{MN}|$ 。