2009 ??高考数学 2009_退役省自主命题 (2009·文) 第 20 题答案解析 | 高考数学真题检索

Question

20．（12分）（2009•陕西）已知函数 $f(x)=x^{3}-3 a x-1, a 
eq 0$
（1）求 $f(x)$ 的单调区间；
（2）若 $f(x)$ 在 $x=-1$ 处取得极值，直线 $y=m$ 与 $y=f(x)$ 的图象有三个不同的交点，求 $m$ 的取值范围。

Accepted Answer

【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值． 【分析】（1）先确求导数 $\mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{x})$ ，在函数的定义域内解不等式 $\mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{x})>0$ 和 $\mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{x}) 0$ 的区间是增区间，$f^{\prime}(x) 0$ ， 当 $a 0$ 时，由 $f^{\prime}(x)>0$ 解得 $x \sqrt{a}$ ； 由 $f^{\prime}(x) 0$ 时，$f(x)$ 的单调增区间为 $(-\infty,-\sqrt{a}), ~(\sqrt{a},+\infty)$ ； $f(x)$ 的单调减区间为 $(-\sqrt{a}, \sqrt{a})$ 。 （2）因为 $f(x)$ 在 $x=-1$ 处取得极大值， 所以 $\mathrm{f}^{\prime}(-1)=3 	imes(-1)^{2}-3 \mathrm{a}=0, \quad 	herefore \mathrm{a}=1$ ． 所以 $f(x)=x^{3}-3 x-1, f^{\prime}(x)=3 x^{2}-3$ ， 由 $f^{\prime}(x)=0$ 解得 $x_{1}=-1, ~ x_{2}=1$ 。 由（1）中 $f(x)$ 的单调性可知，$f(x)$ 在 $x=-1$ 处取得极大值 $f(-1)=1$ ， 在 $\mathrm{x}=1$ 处取得极小值 $\mathrm{f}(1)=-3$ 。 因为直线 $\mathrm{y}=\mathrm{m}$ 与函数 $\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的图象有三个不同的交点， 结合 $f(x)$ 的单调性可知，$m$ 的取值范围是 $(-3, ~ 1)$ 。 【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及求最值和利用导数研究图象等问题，属于中档题。

2009 高考数学第 20 题答案解析

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