（12分）（2009•陕西）已知函数 f(x)=x^ 3…——2009 高考数学第 20 题答案解析

当 $a<0$ 时，$f(x)$ 的单调增区间为 $(-\infty,+\infty)$
当 $a>0$ 时，由 $f^{\prime}(x)>0$ 解得 $x<-\sqrt{a}$ 或 $x>\sqrt{a}$ ；
由 $f^{\prime}(x)<0$ 解得 $-\sqrt{a}当 $a>0$ 时，$f(x)$ 的单调增区间为 $(-\infty,-\sqrt{a}), ~(\sqrt{a},+\infty)$ ；
$f(x)$ 的单调减区间为 $(-\sqrt{a}, \sqrt{a})$ 。
（2）因为 $f(x)$ 在 $x=-1$ 处取得极大值，
所以 $\mathrm{f}^{\prime}(-1)=3 \times(-1)^{2}-3 \mathrm{a}=0, \quad \therefore \mathrm{a}=1$ ．
所以 $f(x)=x^{3}-3 x-1, f^{\prime}(x)=3 x^{2}-3$ ，
由 $f^{\prime}(x)=0$ 解得 $x_{1}=-1, ~ x_{2}=1$ 。
由（1）中 $f(x)$ 的单调性可知，$f(x)$ 在 $x=-1$ 处取得极大值 $f(-1)=1$ ，
在 $\mathrm{x}=1$ 处取得极小值 $\mathrm{f}(1)=-3$ 。
因为直线 $\mathrm{y}=\mathrm{m}$ 与函数 $\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的图象有三个不同的交点，
结合 $f(x)$ 的单调性可知，$m$ 的取值范围是 $(-3, ~ 1)$ 。
【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及求最值和利用导数研究图象等问题，属于中档题。