（14 分）已知椭圆 C : x^ 2 +2 y^ 2 =…——2014 高考数学第 19 题答案解析

【考点】K4：椭圆的性质；KJ：圆与圆锥曲线的综合．
【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）化椭圆方程为标准式，求出半长轴和短半轴，结合隐含条件求出半焦距，则椭圆的离心率可求；
②设出点 $A, B$ 的坐标分别为 $\left(x_{0}, y_{0}\right),(t, 2)$ ，其中 $x_{0} \neq 0$ ，由 $O A \perp O B$ 得到 $\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=0$ ，用坐标表示后把 t 用含有 A 点的坐标表示，然后分 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 的横坐

标相等和不相等写出直线 $A B$ 的方程，然后由圆 $x^{2}+y^{2}=2$ 的圆心到 $A B$ 的距离和圆的半径相等说明直线 $A B$ 与圆 $x^{2}+y^{2}=2$ 相切．

【解答】解：（1）由 $x^{2}+2 y^{2}=4$ ，得椭圆 C 的标准方程为 $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{2}=1$ ．
$\therefore a^{2}=4, ~ b^{2}=2$ ，从而 $c^{2}=a^{2}-b^{2}=2$ ．
因此 $a=2, c=\sqrt{2}$ ．
故椭圆 C 的离心率 $\mathrm{e}=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{a}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ；
（2）直线 $A B$ 与圆 $x^{2}+y^{2}=2$ 相切．
证明如下：
设点 $A, B$ 的坐标分别为 $\left(x_{0}, y_{0}\right),(t, 2)$ ，其中 $x_{0} \neq 0$ ．
$\because \mathrm{OA} \perp \mathrm{OB}$,
$\therefore \overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{O B}=0$ ，即 $\mathrm{tx}_{0}+2 \mathrm{y}_{0}=0$ ，解得 $\mathrm{t}=-\frac{2 \mathrm{y}_{0}}{\mathrm{x}_{0}}$ ．
当 $x_{0}=t$ 时，$y_{0}=-\frac{t^{2}}{2}$ ，代入椭圆 $C$ 的方程，得 $t= \pm \sqrt{2}$ ．
故直线 AB 的方程为 $\mathrm{x}= \pm \sqrt{2}$ ，圆心 O 到直线 AB 的距离 $\mathrm{d}=\sqrt{2}$ ．
此时直线 $A B$ 与圆 $x^{2}+y^{2}=2$ 相切．
当 $x_{0} \neq t$ 时，直线 $A B$ 的方程为 $y-2=\frac{y_{0}-2}{x_{0}-t}(x-t)$ ，
即 $~\left(y_{0}-2\right) ~ x-~\left(x_{0}-t\right) y+2 x_{0}-t y_{0}=0$ ．
圆心 $O$ 到直线 $A B$ 的距离 $d=\frac{\left|2 x_{0}-t y_{0}\right|}{\sqrt{\left(y_{0}-2\right)^{2}+\left(x_{0}-t\right)^{2}}}$ ．
又 $\mathrm{x}_{0}{ }^{2}+2 \mathrm{y}_{0}{ }^{2}=4, t=-\frac{2 \mathrm{y}_{0}}{\mathrm{x}_{0}}$ ．
故 $d=\frac{\left|2 x_{0}+\frac{2 y_{0}{ }^{2}}{x_{0}}\right|}{\sqrt{x_{0}{ }^{2}+y_{0}{ }^{2}+\frac{4 y_{0}{ }^{2}}{x_{0}{ }^{2}}+4}}=\frac{\left|\frac{4+x_{0}{ }^{2}}{x_{0}}\right|}{\sqrt{\frac{x_{0}{ }^{4}+8 x_{0}{ }^{2}+16}{2 x_{0}{ }^{2}}}}=\sqrt{2}$ ．
此时直线 $A B$ 与圆 $x^{2}+y^{2}=2$ 相切．
【点评】本题考查椭圆的简单几何性质，考查了圆与圆锥曲线的综合，训练了由

圆心到直线的距离判断直线和圆的位置关系，体现了分类讨论的数学思想方法，考查了计算能力和逻辑思维能力，是压轴题。