（12分）设函数 f(x)=a x+cos x, x [0…——2012 高考数学第 20 题答案解析

【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值．
【专题】15：综合题．
【分析】（I）求导函数，可得 $f^{\prime}(x)=a-\sin x, x \in[0 . \pi], \sin x \in[0,1]$ ，对 $a$进行分类讨论，即可确定函数的单调区间；
（II）由 $f(x) \leq 1+\sin x$ 得 $f(\pi) \leq 1, a \pi-1 \leq 1$ ，可得 $a \leq \frac{2}{\pi}$ ，构造函数 $g(x)=\sin x-\frac{2}{\pi} x\left(0 \leq x \leqslant \frac{\pi}{2}\right)$ ，可得 $g(x) \geq 0\left(0 \leq x \leqslant \frac{\pi}{2}\right)$ ，再考虑：① $0 \leq x \leqslant \frac{\pi}{2}$ ；②$\frac{\pi}{2} \leqslant x \leqslant \pi$ ，即可得到结论。

【解答】解：（I ）求导函数，可得 $f^{\prime}(x)=a-\sin x, x \in[0, \pi], \sin x \in[0,1]$ ；

当 $a \leq 0$ 时，$f^{\prime}(x) \leq 0$ 恒成立，$f(x)$ 单调递减；当 $a \geq 1$
时，$f^{\prime}(x) \geq 0$ 恒成立，$f(x)$ 单调递增；
当 $0当 $x \in\left[0, x_{1}\right]$ 时， $\sin x0, f(x)$ 单调递增
当 $x \in\left[x_{1}, x_{2}\right]$ 时， $\sin x>a, f^{\prime}(x)<0, f(x)$ 单调递减
当 $x \in\left[x_{2}, \pi\right]$ 时， $\sin x0, f(x)$ 单调递增；
（II）由 $f(x) \leq 1+\sin x$ 得 $f(\pi) \leq 1, a \pi-1 \leq 1, \therefore a \leq \frac{2}{\pi}$ ．
令 $g(x)=\sin x-\frac{2}{\pi} x\left(0 \leq x \leqslant \frac{\pi}{2}\right)$ ，则 $g^{\prime}(x)=\cos x-\frac{2}{\pi}$
当 $x \in\left(0, \arccos \frac{2}{\pi}\right)$ 时，$g^{\prime}(x)>0$ ，当 $x \in\left(\arccos \frac{2}{\pi}, \frac{\pi}{2}\right)$ 时，$g^{\prime}(x)<0$
$\because g(0)=g\left(\frac{\pi}{2}\right)=0, \quad \therefore g(x) \geq 0$ ，即 $\frac{2}{\pi} x \leqslant \sin x\left(0 \leq x \leqslant \frac{\pi}{2}\right)$ ，
当 $a \leq \frac{2}{\pi}$ 时，有 $f(x) \leqslant \frac{2}{\pi} x+\cos x$
①当 $0 \leq x \leqslant \frac{\pi}{2}$ 时，$\frac{2}{\pi} x \leqslant \sin x, \cos x \leq 1$ ，所以 $f(x) \leq 1+\sin x$ ；
②当 $\frac{\pi}{2} \leqslant x \leqslant \pi$ 时，$f(x) \leqslant \frac{2}{\pi} x+\cos x=1+\frac{2}{\pi}\left(x-\frac{\pi}{2}\right)-\sin \left(x-\frac{\pi}{2}\right) \leq 1+\sin x$
综上，$a \leq \frac{2}{\pi}$ 。
【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，解题的关键是正确求导，确定函数的单调性．