（本小题满分 13 分）函数 f(x)=a e^ 2 co…——2015 高考数学第 21 题答案解析

【答案】（I）略；（II）$\left[\frac{\sqrt{2} \pi}{4} e^{-\frac{\pi}{4}},+\infty\right)$

## 【解析】

试题分析：（I）由题 $f^{\prime}(x)=\sqrt{2} a e^{x} \cos \left(x+\frac{\pi}{4}\right)$ ，令 $f^{\prime}(x)=0$ ，求出函数的极值点，根据等比数列定义即可得到结果；（II）由题意问题等价于 $\frac{\sqrt{2}}{a} \leq \frac{e^{n \pi-\frac{3 \pi}{4}}}{n \pi-\frac{3 \pi}{4}}$ 恒成立问题，设 $g(t)=\frac{e^{t}}{t}(t>0)$ ，然后运用导数知识

得到 $\left[g\left(x_{n}\right)\right]_{\min }=\min \left[g\left(x_{1}\right), g\left(x_{2}\right)\right]=\min \left[g\left(\frac{\pi}{4}\right), g\left(\frac{5 \pi}{4}\right)\right]=g\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{4}{\pi} e^{\frac{\pi}{2}}$ ，所以 $\frac{\sqrt{2}}{a} \leq \frac{4}{\pi} e^{\frac{\pi}{2}}$ ，求得 $a \geq \frac{\sqrt{2} \pi}{4} e^{-\frac{\pi}{2}}$ ，得到 $a$ 的取值范围；

试题解析：（I）$f^{\prime}(x)=a e^{x} \cos x-a e^{x} \sin x=\sqrt{2} a e^{x} \cos \left(x+\frac{\pi}{4}\right)$
令 $f^{\prime}(x)=0$ ，由 $x \geq 0$ ，得 $x+\frac{\pi}{4}=m \pi-\frac{\pi}{2}$ ，即 $x=m \pi-\frac{3 \pi}{4}, m \in N^{*}$ ，
而对于 $\cos \left(x+\frac{\pi}{4}\right)$ ，当 $k \in Z$ 时，
若 $2 k \pi-\frac{\pi}{2}0$ ；
若 $2 k \pi+\frac{\pi}{2}因此，在区间 $\left((m-1) \pi, m \pi-\frac{3 \pi}{4}\right)$ 与 $\left(m \pi-\frac{3 \pi}{4}, m \pi+\frac{\pi}{4}\right)$ 上，$f^{\prime}(x)$ 的符号总相反，于是当 $x=m \pi-\frac{3 \pi}{4}, m \in N^{*}$ 时，$f(x)$ 取得极值，所以 $x_{n}=n \pi-\frac{3 \pi}{4}, n \in N^{*}$ ，此时，
$f\left(x_{n}\right)=a e^{n \pi-\frac{3 \pi}{4}} \cos \left(n \pi-\frac{3 \pi}{4}\right)=(-1)^{n+1} \frac{\sqrt{2}}{2} a e^{n \pi-\frac{3 \pi}{4}}$ ，易知 $f\left(x_{n}\right) \neq 0$ ，而
$\frac{f\left(x_{n+1}\right)}{f\left(x_{n}\right)}=\frac{(-1)^{n+2} \frac{\sqrt{2}}{2} a e^{(n+1) n-\frac{3 \pi}{4}}}{(-1)^{n+1} \frac{\sqrt{2}}{2} a e^{n \pi-\frac{3 \pi}{4}}}=-e^{n}$ 是常数，

故数列 $\left\{f\left(x_{n}\right)\right\}$ 是首项为 $f\left(x_{1}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2} a e^{\frac{\pi}{4}}$ ，公比为 $-e^{\pi}$ 的等比数列。
（II）对一切 $n \in N^{*}, x_{n} \leq\left|f\left(x_{n}\right)\right|$ 恒成立，即 $n \pi-\frac{3 \pi}{4} \leq \frac{\sqrt{2}}{2} a e^{n \pi-\frac{3 \pi}{4}}$ 恒成立，亦即

$$ \frac{\sqrt{2}}{a} \leq \frac{e^{n \pi-\frac{3 \pi}{4}}}{n \pi-\frac{3 \pi}{4}} \text { 恒成立 } $$

设 $g(t)=\frac{e^{t}}{t}(t>0)$ ，则 $g^{\prime}(t)=\frac{e^{t}(t-1)}{t^{2}}$ ，令 $g^{\prime}(t)=0$ 得 $t=1$ ，
当 $0当 $t>1$ 时，$g^{\prime}(t)>0$ ，所以 $g(t)$ 在区间 $(1,+\infty)$ 上单调递增；
因为 $x_{1} \in(0,1)$ ，且当 $n \geq 2$ 时，$x_{n} \in(1,+\infty), x_{n}

$$ \left[g\left(x_{n}\right)\right]_{\min }=\min \left[g\left(x_{1}\right), g\left(x_{2}\right)\right]=\min \left[g\left(\frac{\pi}{4}\right), g\left(\frac{5 \pi}{4}\right)\right]=g\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{4}{\pi} e^{\frac{\pi}{4}} $$

因此，$n \in N^{*}, x_{n} \leq\left|f\left(x_{n}\right)\right|$ 恒成立，当且仅当 $\frac{\sqrt{2}}{a} \leq \frac{4}{\pi} e^{\frac{\pi}{4}}$ ，解得 $a \geq \frac{\sqrt{2} \pi}{4} e^{-\frac{\pi}{4}}$ ，
故实数 $a$ 的取值范围是 $\left[\frac{\sqrt{2} \pi}{4} e^{-\frac{\pi}{4}},+\infty\right)$ 。
【考点定位】恒成立问题；等比数列的性质
【名师点睛】解决数列与函数的综合问题时，如果是证明题要根据等比数列的定义明确证明的方向，如果是不等式恒成立问题，要使用不等式恒成立的各种不同解法，如变量分离法、最值法、因式分解法等，总之解决这类问题把数列看做特殊函数，并把它和不等式的知识巧妙结合起来综合处理就行了。