已知 f(x)=a x- sin x cos ^ 3 x…——2023 高考数学第 21 题答案解析

【答案】（1）答案见解析。
（2）$(-\infty, 3]$

【解析】

【分析】（1）求导，然后令 $t=\cos ^{2} x$ ，讨论导数的符号即可；
（2）构造 $g(x)=f(x)-\sin 2 x$ ，计算 $g^{\prime}(x)$ 的最大值，然后与 0 比较大小，得出 $a$ 的分界点，再对 $a$ 讨论即可。

【小问 1 详解】

$f^{\prime}(x)=a-\frac{\cos x \cos ^{3} x+3 \sin x \cos ^{2} x \sin x}{\cos ^{6} x}$
$=a-\frac{\cos ^{2} x+3 \sin ^{2} x}{\cos ^{4} x}=a-\frac{3-2 \cos ^{2} x}{\cos ^{4} x}$

令 $\cos ^{2} x=t$ ，则 $t \in(0,1)$

则 $f^{\prime}(x)=g(t)=a-\frac{3-2 t}{t^{2}}=\frac{a t^{2}+2 t-3}{t^{2}}$

当 $a=8, f^{\prime}(x)=g(t)=\frac{8 t^{2}+2 t-3}{t^{2}}=\frac{(2 t-1)(4 t+3)}{t^{2}}$
当 $t \in\left(0, \frac{1}{2}\right)$ ，即 $x \in\left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right), f^{\prime}(x)<0$ ．
当 $t \in\left(\frac{1}{2}, 1\right)$ ，即 $x \in\left(0, \frac{\pi}{4}\right), f^{\prime}(x)>0$ ．
所以 $f(x)$ 在 $\left(0, \frac{\pi}{4}\right)$ 上单调递增，在 $\left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right)$ 上单调递减

【小问 2 详解】

设 $g(x)=f(x)-\sin 2 x$
$g^{\prime}(x)=f^{\prime}(x)-2 \cos 2 x=g(t)-2\left(2 \cos ^{2} x-1\right)=\frac{a t^{2}+2 t-3}{t^{2}}-2(2 t-1)=a+2-4 t+\frac{2}{t}-\frac{3}{t^{2}}$ 设

$\varphi(t)=a+2-4 t+\frac{2}{t}-\frac{3}{t^{2}}$
$\varphi^{\prime}(t)=-4-\frac{2}{t^{2}}+\frac{6}{t^{3}}=\frac{-4 t^{3}-2 t+6}{t^{3}}=-\frac{2(t-1)\left(2 t^{2}+2 t+3\right)}{t^{3}}>0$
所以 $\varphi(t)<\varphi(1)=a-3$ ．
$1^{\circ}$ 若 $a \in(-\infty, 3], g^{\prime}(x)=\varphi(t)<a-3 \leq 0$
即 $g(x)$ 在 $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 上单调递减，所以 $g(x)<g(0)=0$ ．

所以当 $a \in(-\infty, 3], f(x)<\sin 2 x$ ，符合题意．
$2^{\circ}$ 若 $a \in(3,+\infty)$
当 $t \rightarrow 0, \frac{2}{t}-\frac{3}{t^{2}}=-3\left(\frac{1}{t}-\frac{1}{3}\right)^{2}+\frac{1}{3} \rightarrow-\infty$ ，所以 $\varphi(t) \rightarrow-\infty$ ．
$\varphi(1)=a-3>0$.
所以 $\exists t_{0} \in(0,1)$ ，使得 $\varphi\left(t_{0}\right)=0$ ，即 $\exists x_{0} \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ ，使得 $g^{\prime}\left(x_{0}\right)=0$ 。
当 $t \in\left(t_{0}, 1\right), \varphi(t)>0$ ，即当 $x \in\left(0, x_{0}\right), g^{\prime}(x)>0, g(x)$ 单调递增．
所以当 $x \in\left(0, x_{0}\right), g(x)>g(0)=0$ ，不合题意。
综上，$a$ 的取值范围为 $(-\infty, 3]$ ．

【点睛】关键点点睛：本题采取了换元，注意复合函数的单调性 $t=\cos x$ 在定义域内是减函数，若 $t_{0}=\cos x_{0}$ ，当 $t \in\left(t_{0}, 1\right), \varphi(t)>0$ ，对应当 $x \in\left(0, x_{0}\right), g^{\prime}(x)>0$ ．