（12分）已知函数 f(x)=x^ 4 -3 x^ 2 +…——2009 高考数学第 21 题答案解析

【考点】6B：利用导数研究函数的单调性； 6 H ：利用导数研究曲线上某点切线方程。

【专题】16：压轴题．
【分析】①利用导数求解函数的单调性的方法步骤进行求解．
②根据已知，只需求出 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 在点 P 处的导数，即斜率，就可以求出切线方

程。
【解答】解：（I ）$f^{\prime}(x)=4 x^{3}-6 x=4 x\left(x+\frac{\sqrt{6}}{2}\right)\left(x-\frac{\sqrt{6}}{2}\right)$
令 $f^{\prime}(x)>0$ 得 $\frac{\sqrt{6}}{2}\frac{\sqrt{6}}{2}$ ；
令 $f^{\prime}(x)<0$ 得 $x<\frac{\sqrt{6}}{2}$ 或 $0因此，$f(x)$ 在区间 $\left(\frac{\sqrt{6}}{2}, 0\right)$ 和 $\left(\frac{\sqrt{6}}{2},+\infty\right)$ 为增函数；
在区间（ $-\infty,-\frac{\sqrt{6}}{2}$ ）和（ $0, \frac{\sqrt{6}}{2}$ ）为减函数。
（II）设点 $\mathrm{P}\left(\mathrm{x}_{0}, \mathrm{f}\left(\mathrm{x}_{0}\right)\right)$ ，
由l过原点知，$l$ 的方程为 $y=f^{\prime}\left(x_{0}\right) x$ ，
因此 $f\left(x_{0}\right)=f^{\prime}\left(x_{0}\right) x_{0}$ ，即 $x_{0}{ }^{4}-3 x_{0}{ }^{2}+6-x_{0}\left(4 x_{0}{ }^{3}-6 x_{0}\right)=0$ ，
整理得 $\left(x_{0}{ }^{2}+1\right)\left(x_{0}{ }^{2}-2\right)=0$ ，解得 $x_{0}=-\sqrt{2}$ 或 $x_{0}=\sqrt{2}$ 。
所以的方程为 $y=2 \sqrt{2} x$ 或 $y=-2 \sqrt{2} x$
【点评】本题比较简单，是一道综合题，主要考查函数的单调性、利用导数的几何意义求切线方程等函数基础知识，应熟练掌握。