如图，已知椭圆 C_ 1 : x ^ 2 2 +y^ 2…——2020 高考数学第 21 题答案解析

【分析】（I ）直接由抛物线的定义求出焦点坐标即可；
（II）设直线方程 $y=k x^{+} t, A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right), M\left(x_{0}, y_{0}\right)$ ，由 $\left\{\begin{array}{l}\frac{\mathrm{x}^{2}}{2}+\mathrm{y}^{2}=1 \\ \mathrm{y}=\mathrm{kx}+\mathrm{t}\end{array}\right.$ ，根据韦达定理定理求出 $M\left(-\frac{2 \mathrm{kt}}{1+2 \mathrm{k}^{2}}, \frac{\mathrm{t}}{1+2 \mathrm{k}^{2}}\right)$ ，可得 $p$ ，再由 $\left\{\begin{array}{c}\mathrm{y}^{2}=2 \mathrm{px} \\ \mathrm{y}=\mathrm{kx}+\mathrm{t}\end{array}\right.$ ，求出点 $A$

的坐标，代入椭圆方程可得 $t^{2}=\frac{8 \mathrm{k}^{6}}{\left(1+2 \mathrm{k}^{2}\right)^{2}+2 \mathrm{k}^{2}}$ ，化简整理得 $p^{2}=$
$\frac{k^{4}}{2\left(1+2 k^{2}\right)^{2} \cdot\left[\left(1+2 k^{2}\right)^{2}+2 k^{2}\right]}$ ，利用基本不等式即可求出 $p$ 的最大值．
解：（ I ）$p=\frac{1}{16}$ ，则 $\frac{\mathrm{p}}{2}=\frac{1}{32}$ ，则抛物线 $C_{2}$ 的焦点坐标 $\left(\frac{1}{32}, 0\right)$ ，
（II）直线 $l$ 与 $x$ 轴垂直时，此时点 $M$ 与点 $A$ 或点 $B$ 重合，不满足题意，
设直线 $l$ 的方程为 $y=k x^{+} t, A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right), M\left(x_{0}, y_{0}\right)$ ，
由 $\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1 \\ y=k x+t\end{array}\right.$ 消 $y$ 可得 $\left(2 k^{2}+1\right) x^{2}+4 k t y+2 t^{2}-2=0$ ，
$\therefore \triangle=16 k^{2} t^{2}-4\left(2 k^{2}+1\right)\left(2 t^{2}-2\right) \geqslant 0$ ，即 $t^{2}<1+2 k^{2}$ ，
$\therefore x_{1}+x_{2}=-\frac{4 \mathrm{kt}}{1+2 \mathrm{k}^{2}}, \quad \therefore x_{0}=\frac{1}{2}\left(x_{1}+x_{2}\right)=-\frac{2 \mathrm{kt}}{1+2 \mathrm{k}^{2}}$ ，
$\therefore y_{0}=k x_{0}+t=\frac{\mathrm{t}}{1+2 \mathrm{k}^{2}}, \quad \therefore M\left(-\frac{2 \mathrm{kt}}{1+2 \mathrm{k}^{2}}, \frac{\mathrm{t}}{1+2 \mathrm{k}^{2}}\right)$ ，
∵ 点 $M$ 在抛物线 $C_{2}$ 上，$\therefore y^{2}=2 p x$ ，
$\therefore p=\frac{\mathrm{y}^{2}}{2 \mathrm{x}}=\frac{\frac{\mathrm{t}^{2}}{\left(1+2 \mathrm{k}^{2}\right)^{2}}}{2 \cdot \frac{-2 \mathrm{kt}}{1+2 \mathrm{k}^{2}}}=\frac{\mathrm{t}}{-4 \mathrm{k}\left(1+2 \mathrm{k}^{2}\right)}$,
联立 $\left\{\begin{array}{c}\mathrm{y}^{2}=2 \mathrm{px} \\ \mathrm{y}=\mathrm{kx}+\mathrm{t}\end{array}\right.$ ，解得 $x_{1}=\frac{\mathrm{t}\left(1+2 \mathrm{k}^{2}\right)}{-2 \mathrm{k}^{3}}, y_{1}=\frac{\mathrm{t}^{2}}{-2 \mathrm{k}^{2}}$ ，
代入椭圆方程可得 $\frac{t^{2}\left(1+2 k^{2}\right)^{2}}{8 k^{6}}+\frac{t^{2}}{4 k^{4}}=1$ ，解得 $t^{2}=\frac{8 k^{6}}{\left(1+2 k^{2}\right)^{2}+2 k^{2}}$
$\therefore p^{2}=\frac{t^{2}}{16 k^{2}\left(1+2 k^{2}\right)^{2}}=\frac{8 k^{6}}{16 k^{2}\left(1+2 k^{2}\right)^{2} \cdot\left[\left(1+2 k^{2}\right)^{2}+2 k^{2}\right]}$
$=\frac{k^{4}}{2\left(1+2 k^{2}\right)^{2} \cdot\left[\left(1+2 k^{2}\right)^{2}+2 k^{2}\right]} \leqslant \frac{k^{4}}{2(2 \sqrt{2} k)^{2}\left[(2 \sqrt{2} k)^{2}+2 k^{2}\right]}=\frac{1}{160}$,
$\therefore p \leqslant \frac{\sqrt{10}}{40}$ ，当且仅当 $1=2 k^{2}$ ，即 $k^{2}=\frac{1}{2}, t^{2}=\frac{1}{5}$ 时等号成立，
故 $p$ 的最大值为 $\frac{\sqrt{10}}{40}$ ．