（14 分）（2008 • 四川）已知 x=3 是函数 f…——2008 高考数学第 22 题答案解析

【考点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性．
【专题】计算题；压轴题；数形结合法．
【分析】（I）先求导 $f^{\prime}(x)=\frac{a}{1+x}+2 x-10$ ，再由 $x=3$ 是函数 $f(x)=a \ln (1+x)+x^{2}-10 x$的一个极值点即 $f^{\prime}$③$=\frac{a}{4}+6-10=0$ 求解．
（II）由（I）确定 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=16 \ln (1+\mathrm{x})+\mathrm{x}^{2}-10 \mathrm{x}, ~ \mathrm{x} \in(-1,+\infty)$ 再由 $\mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{x})>0$ 和 $\mathrm{f}^{\prime}$ （ x ）$<0$ 求得单调区间。
（III）由（II）知， $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 在 $(-1,1)$ 内单调增加，在 $(1,3)$ 内单调减少，在（3， $+\infty)$ 上单调增加，且当 $x=1$ 或 $x=3$ 时，$f^{\prime}(x)=0$ ，可得 $f(x)$ 的极大值为 $f(1)$ ，极小值为 f ③一，再由直线 $\mathrm{y}=\mathrm{b}$ 与函数 $\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的图象有 3 个交点则须有 $\mathrm{f}(3)<\mathrm{b}<\mathrm{f}(1)$ 求解，因此， b 的取值范围为（ $32 \ln 2-21,16 \ln 2-9$ ）．
【解答】解：（I）因为 $f^{\prime}(x)=\frac{a}{1+x}+2 x-10$
所以 $f^{\prime}(3)=\frac{a}{4}+6-10=0$
因此 $a=16$

（II）由（I）知， $\mathrm{f}(\mathrm{x})=16 \ln (1+\mathrm{x})+\mathrm{x}^{2}-10 \mathrm{x}, \mathrm{x} \in(-1,+\infty)$
$f^{\prime}(x)=\frac{2\left(x^{2}-4 x+3\right)}{1+x}$
当 $x \in(-1,1) \cup(3,+\infty)$ 时，$f^{\prime}(x)>0$
当 $x \in(1,3)$ 时，$f^{\prime}(x)<0$
所以 $f(x)$ 的单调增区间是 $(-1,1),(3,+\infty) f(x)$ 的单调减区间是 $(1,3)$
（III）由（II）知， $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 在 $(-1,1)$ 内单调增加，
在 $(1,3)$ 内单调减少，在 $(3,+\infty)$ 上单调增加，且当 $x=1$ 或 $x=3$ 时，$f^{\prime}(x)=0$
所以 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的极大值为 $\mathrm{f}(1)=16 \ln 2-9$ ，极小值为 $\mathrm{f}(3)=32 \ln 2-21$
因此 $\mathrm{f}(16)>16^{2}-10 \times 16>16 \ln 2-9=\mathrm{f}(1) \mathrm{f}\left(\mathrm{e}^{-2}-1\right)<-32+11=-21<\mathrm{f}(3)$
所以在 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的三个单调区间 $(-1,1),(1,3),(3,+\infty)$ 直线 $\mathrm{y}=\mathrm{b}$ 有 $\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的图象
各有一个交点，当且仅当 $\mathrm{f}(3)<\mathrm{b}<\mathrm{f}(1)$
因此， b 的取值范围为（ $32 \ln 2-21, ~ 16 \ln 2-9$ ）。
【点评】此题重点考查利用求导研究函数的单调性，最值问题，函数根的问题；，熟悉函数的求导公式，理解求导在函数最值中的研究方法是解题的关键，数形结合理解函数的取值范围。