2011 全国高考数学 2011_老新课标卷 (2011·文) 第 21 题答案解析 | 高考数学真题检索

Question

21．（12分）已知函数 $f(x)=\frac{a \ln x}{x+1}+\frac{b}{x}$ ，曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1, f(1))$ 处的切线方程为 $x+2 y-3=0$ ．
（I）求 $\mathrm{a} 、 \mathrm{~b}$ 的值；
（II）证明：当 $x>0$ ，且 $x 
eq 1$ 时，$f(x)>\frac{\ln x}{x-1}$ ．

Accepted Answer

【考点】6E：利用导数研究函数的最值； 6 H ：利用导数研究曲线上某点切线方程． 【专题】15：综合题；16：压轴题；32：分类讨论；35：转化思想． 【分析】（I）据切点在切线上，求出切点坐标；求出导函数；利用导函数在切点处的值为切线的斜率及切点在曲线上，列出方程组，求出 $\mathrm{a}, \mathrm{b}$ 的值． （II）构造新函数，求出导函数，通过研究导函数的符号判断出函数的单调性，求出函数的最值，证得不等式． 【解答】解：（1）$f^{\prime}(x)=\frac{a\left(\frac{x+1}{x}-\ln xight)}{(x+1)^{2}}-\frac{b}{x^{2}}$ ． 由于直线 $x+2 y-3=0$ 的斜率为 $-\frac{1}{2}$ ，且过点 $(1,1)$ 所以 $\left\{\begin{array}{l}b=1 \ \frac{a}{2}-b=-\frac{1}{2}\end{array}ight.$ 解得 $a=1, b=1$ （II）由（I）知f $(x)=\frac{\ln x}{x+1}+\frac{1}{x}$ 所以 $f(x)-\frac{\ln x}{x-1}=\frac{1}{1-x^{2}}\left(2 \ln x-\frac{x^{2}-1}{x}ight)$ 考虑函数 $\mathrm{h}(\mathrm{x})=2 \ln \mathrm{x}-\frac{\mathrm{x}^{2}-1}{\mathrm{x}}(\mathrm{x}>0)$ ， 则 $h^{\prime}(x)=\frac{2}{x}-\frac{2 x^{2}-\left(x^{2}-1ight)}{x^{2}}=-\frac{(x-1)^{2}}{x^{2}}$ 所以当 $x 
eq 1$ 时，$h^{\prime}(x) 0$ 可得 $\frac{1}{1-x^{2}} h(x)>0$ ； 当 $x \in(1,+\infty)$ 时，$h(x) 0$ 从而当 $x>0$ 且 $x 
eq 1$ 时， $f(x)-\frac{\ln x}{x-1}>0$ 即 $f(x)>\frac{\ln x}{x-1}$ 【点评】本题考查导函数的几何意义：在切点处的导数值为切线的斜率、考查通过判断导函数的符号求出函数的单调性；通过求函数的最值证明不等式恒成立。

2011 高考数学第 21 题答案解析

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