（12分）已知函数 f(x)= a ln x x+1 +…——2011 高考数学第 21 题答案解析

解得 $a=1, b=1$
（II）由（I）知f $(x)=\frac{\ln x}{x+1}+\frac{1}{x}$
所以 $f(x)-\frac{\ln x}{x-1}=\frac{1}{1-x^{2}}\left(2 \ln x-\frac{x^{2}-1}{x}\right)$
考虑函数 $\mathrm{h}(\mathrm{x})=2 \ln \mathrm{x}-\frac{\mathrm{x}^{2}-1}{\mathrm{x}}(\mathrm{x}>0)$ ，
则 $h^{\prime}(x)=\frac{2}{x}-\frac{2 x^{2}-\left(x^{2}-1\right)}{x^{2}}=-\frac{(x-1)^{2}}{x^{2}}$
所以当 $x \neq 1$ 时，$h^{\prime}(x)<0$ 而 $h(1)=0$ ，
当 $x \in(0,1)$ 时，$h(x)>0$ 可得 $\frac{1}{1-x^{2}} h(x)>0$ ；
当 $x \in(1,+\infty)$ 时，$h(x)<0$ ，可得 $\frac{1}{1-x^{2}} h(x)>0$
从而当 $x>0$ 且 $x \neq 1$ 时，
$f(x)-\frac{\ln x}{x-1}>0$ 即 $f(x)>\frac{\ln x}{x-1}$
【点评】本题考查导函数的几何意义：在切点处的导数值为切线的斜率、考查通过判断导函数的符号求出函数的单调性；通过求函数的最值证明不等式恒成立。