（本小题满分 16 分） 若函数 y=f(x) 在 x=x…——2012 高考数学第 18 题答案解析

【解答】
（16分）（2012 • 江苏）若函数 $\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 在 $\mathrm{x}=\mathrm{x}_{0}$ 处取得极大值或极小值，则称 $\mathrm{x}_{0}$ 为函数 $\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的极值点．已知 $\mathrm{a}, \mathrm{b}$ 是实数， 1 和 -1 是函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{x}^{3}+\mathrm{ax}^{2}+\mathrm{bx}$ 的两个极值点．
（1）求 a 和 b 的值；
②设函数 $\mathrm{g}(\mathrm{x})$ 的导函数 $\mathrm{g}^{\prime}(\mathrm{x})=\mathrm{f}(\mathrm{x})+2$ ，求 $\mathrm{g}(\mathrm{x})$ 的极值点；
③设 $h(x)=f(f(x))-c$ ，其中 $c \in[-2,2]$ ，求函数 $y=h(x)$ 的零点个数．

考点 函数在某点取得极值的条件；函数的零点．
：
专题 导数的综合应用．

分析（1）求出导函数，根据 1 和 -1 是函数的两个极值点代入列方程组求解即可。
（2）由①得 $f(x)=x^{3}-3 x$ ，求出 $g^{\prime}(x)$ ，令 $g^{\prime}(x)=0$ ，求解讨论即可。
（3）先分 $|\mathrm{d}|=2$ 和 $|\mathrm{d}|<2$ 讨论关于的方程 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{d}$ 的情况；再考虑函数 $\mathrm{y}=\mathrm{h} ~(\mathrm{x}) ~$ 的零点．

解答 解：（1）由 $f(x)=x^{3}+a x^{2}+b x$ ，得 $f^{\prime}(x)=3 x^{2}+2 a x+b$ ．
$\because 1$ 和 -1 是函数 $f(x)$ 的两个极值点，
$\therefore f^{\prime}(1)=3-2 a+b=0, f^{\prime}(-1)=3+2 a+b=0$ ，解得 $a=0, b=-3$ ．
②由①得，$f(x)=x^{3}-3 x, \therefore g^{\prime}(x)=f(x)+2=x^{3}-3 x+2=(x-1)^{2}(x+2) =0$ ，解得 $x_{1}=x_{2}=1, x_{3}=-2$ ．
∵ 当 $x<-2$ 时，$g^{\prime}(x)<0$ ；当 $-20$ ，
$\therefore-2$ 是 $g(x)$ 的极值点．
∵ 当 $-21$ 时，$g^{\prime}(x)>0, \therefore 1$ 不是 $g(x)$ 的极值点．
$\therefore g(x)$ 的极值点是 -2 ．
（3）令 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{t}$ ，则 $\mathrm{h}(\mathrm{x})=\mathrm{f}(\mathrm{t})-\mathrm{c}$ 。
先讨论关于 $x$ 的方程 $f(x)=d$ 根的情况，$d \in[-2,2]$
当 $|\mathrm{d}|=2$ 时，由（ 2
）可知，$f(x)=-2$ 的两个不同的根为 1 和一 2 ，注意到 $f(x)$ 是奇函数，
$\therefore \mathrm{f}(\mathrm{x})=2$ 的两个不同的根为 -1 和 2 。
当 $|\mathrm{d}|<2$ 时，$\because \mathrm{f}(-1)-\mathrm{d}=\mathrm{f}(2)-\mathrm{d}=2-\mathrm{d}>0, \mathrm{f}(1)-\mathrm{d}=\mathrm{f}(-2)-\mathrm{d}=-2-\mathrm{d}<0$ ，
$\therefore-2,-1,1,2$ 都不是 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{d}$ 的根．
由①知， $\mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{x})=3(\mathrm{x}+1)(\mathrm{x}-1)$ ．
①当 $x \in(2,+\infty)$ 时，$f^{\prime}(x)>0$ ，于是 $f(x)$ 是单调增函数，从而 $f(x)>f(2) =2$ ．
此时 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{d}$ 在 $(2,+\infty)$ 无实根。
②当 $x \in(1,2)$ 时，$f^{\prime}(x)>0$ ，于是 $f(x)$ 是单调增函数．
又 $\because \mathrm{f}(1)-\mathrm{d}<0, \mathrm{f}(2)-\mathrm{d}>0, \mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x})-\mathrm{d}$ 的图象不间断，
$\therefore \mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{d}$ 在（ 1,2 ）内有唯一实根．
同理，在（－2，－1）内有唯一实根．
（3）当 $x \in(-1,1)$ 时，$f^{\prime}(x)<0$ ，于是 $f(x)$ 是单调减函数．
又 $\because f(-1)-d>0, f(1)-d<0, y=f(x)-d$ 的图象不间断，
$\therefore \mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{d}$ 在 $(-1,1)$ 内有唯一实根．
因此，当 $|\mathrm{d}|=2$ 时， $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{d}$ 有两个不同的根
$\mathrm{x}_{1}, \mathrm{x}_{2}$ ，满足 $\left|\mathrm{x}_{1}\right|=1,\left|\mathrm{x}_{2}\right|=2$ ；当 $|\mathrm{d}|<2$ 时， $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{d}$
有三个不同的根 $\mathrm{x}_{3}, \mathrm{x}_{4}, \mathrm{x}_{5}$ ，满足 $\left|\mathrm{x}_{\mathrm{i}}\right|<2, \mathrm{i}=3,4,5$ 。
现考虑函数 $\mathrm{y}=\mathrm{h}(\mathrm{x})$ 的零点：
（ i
）当 $|c|=2$ 时，$f(t)=c$ 有两个根 $t_{1}, t_{2}$ ，满足 $\left|t_{1}\right|=1,\left|t_{2}\right|=2$ 。而 $f(x)=t_{1}$ 有三个不同的根， $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{t}_{2}$ 有两个不同的根，故 $\mathrm{y}=\mathrm{h}(\mathrm{x})$ 有 5 个零点。
（ ii ）当 $|\mathrm{c}|<2$ 时， $\mathrm{f}(\mathrm{t})=\mathrm{c}$ 有三个不同的根 $\mathrm{t}_{3}, \mathrm{t}_{4}, \mathrm{t}_{5}$ ，满足 $\left|\mathrm{t}_{\mathrm{i}}\right|<2, \mathrm{i}=3,4,5$ 。
而 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{t}_{\mathrm{i}}$ 有三个不同的根，故 $\mathrm{y}=\mathrm{h}(\mathrm{x})$ 有 9 个零点。
综上所述，当 $|c|=2$ 时，函数 $y=h(x)$ 有 5 个零点；当 $|c|<2$ 时，函数 $y=h(x)$ 有 9

个零点．
点评 本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查函数的单调性，考查函数的零点 ：，考查分类讨论的数学思想，综合性强，难度大。