（本小题满分14分）。 已知二次函数 y=g(x) 的导函…——2009 高考数学第 18 题答案解析

【解答】
（14分）（2009 • 广东）已知二次函数 $\mathrm{y}=\mathrm{g}(\mathrm{x})$ 的导函数的图象与直线 $\mathrm{y}=2 \mathrm{x}$ 平行，且 y $=g(x)$ 在 $x=-1$ 处取得极小值 $m-1(m \neq 0)$ 。设 $f(x)=\frac{g(x)}{x}$ ．
（1）若曲线 $\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 上的点 P 到点 $\mathrm{Q}(0,2)$ 的距离的最小值为 $\sqrt{2}$ ，求 m 的值；
②$k(k \in R)$ 如何取值时，函数 $y=f(x)-k x$ 存在零点，并求出零点。
【考点】根的存在性及根的个数判断；函数零点的判定定理；利用导数研究函数的极值．
【专题】导数的综合应用。
【分析】（1）先根据二次函数的顶点式设出函数 $\mathrm{g}(\mathrm{x})$ 的解析式，然后对其进行求导，根据 $\mathrm{g}(\mathrm{x})$ 的导函数的图象与直线 $\mathrm{y}=2 \mathrm{x}$ 平行求出 a 的值，进而可确定函数 $\mathrm{g}(\mathrm{x}) , \mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的解析式，然后设出点 P 的坐标，根据两点间的距离公式表示出 $|\mathrm{PQ}|$ ，再由基本不等式表示其最小值即可。
（2）先根据（1）的内容得到函数 $y=f(x)-k x$ 的解析式，即 $(1-k) x^{2}+2 x+m=0$ ，然后先对二次项的系数等于 0 进行讨论，再当二次项的系数不等于 0 时，即为二次方程时根据方程的判别式进行讨论即可得到答案。
【解答】解：（1）依题可设 $g(x)=a(x+1)^{2}+m-1(a \neq 0)$ ，则 $g^{\prime}(x)=2 a(x+1)=2 a x$ ＋2a；
又 $\mathrm{g}^{\prime}(\mathrm{x})$ 的图象与直线 $\mathrm{y}=2 \mathrm{x}$ 平行 $\because 2 \mathrm{a}=2 \therefore \mathrm{a}=1$
$\therefore g(x)=(x+1)^{2}+m-1=x^{2}+2 x+m, f(x)=\frac{g(x)}{x}=x+\frac{m}{x}+2$ ，
设 $\mathrm{P}\left(\mathrm{x}_{\mathrm{o}}, \mathrm{y}_{\mathrm{o}}\right)$ ，则 $|\mathrm{PQ}|^{2}=\mathrm{x}_{0}^{2}+\left(\mathrm{y}_{0}-2\right)^{2}=\mathrm{x}_{0}^{2}+\left(\mathrm{x}_{0}+\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{x}_{0}}\right)^{2}=$
$2 x_{0}^{2}+\frac{m^{2}}{x_{0}^{2}}+2 m \geqslant 2 \sqrt{2 m^{2}}+2 m=2 \sqrt{2}|m|+2 m$
当且仅当 $2 x_{0}^{2}=\frac{m^{2}}{x_{0}^{2}}$ 时，$|P Q|^{2}$ 取得最小值，即 $|P Q|$ 取得最小值 $\sqrt{2}$
当 $m>0$ 时，$\sqrt{(2 \sqrt{2}+2) m}=\sqrt{2}$ 解得 $m=\sqrt{2}-1$
当 $\mathrm{m}<0$ 时，$\sqrt{(-2 \sqrt{2}+2) \mathrm{m}}=\sqrt{2}$ 解得 $\mathrm{m}=-\sqrt{2}-1$
②由 $y=f(x)-k x=(1-k) x+\frac{m}{x}+2=0(x \neq 0)$ ，得（ $1-k$ ）$x^{2}+2 x+m=0 \quad$（＊）
当 $\mathrm{k}=1$ 时，方程（＊）有一解 $\mathrm{x}=-\frac{\pi}{2}$ ，函数 $\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x})-\mathrm{kx}$ 有一零点 $\mathrm{x}=-\frac{\pi}{2}$ ；
当 $\mathrm{k} \neq 1$ 时，方程（＊）有二解 $\Leftrightarrow \triangle=4-4 \mathrm{~m}(1-\mathrm{k})>0$ ，
若 $m>0, k>1-\frac{1}{\pi}$ ，
函数 $y=f(x)-k x$ 有两个零点 $x=\frac{-2 \pm \sqrt{4-4 m(1-k)}}{2(1-k)}$ ，即 $x=\frac{1 \pm \sqrt{1-m(1-k)}}{k-1}$ ；
若 $m<0, k<1-\frac{1}{\pi}$ ，

函数 $y=f(x)-k x$ 有两个零点 $x=\frac{-2 \pm \sqrt{4-4 m(1-k)}}{2(1-k)}$ ，即 $x=\frac{1 \pm \sqrt{1-m(1-k)}}{k-1}$ ；
当 $\mathrm{k} \neq 1$ 时，方程（＊）有一解 $\Leftrightarrow \triangle=4-4 \mathrm{~m}(1-\mathrm{k})=0, \mathrm{k}=1-\frac{1}{\pi}$ ，
函数 $y=f(x)-k x$ 有一零点 $x=\frac{1}{k-1}=-\pi$
综上，当 $\mathrm{k}=1$ 时，函数 $\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x})-\mathrm{kx}$ 有一零点 $\mathrm{x}=-\frac{\pi}{2}$ ；
当 $k>1-\frac{1}{\pi}(m>0)$ ，或 $k<1-\frac{1}{\pi}(m<0)$ 时，
函数 $y=f(x)-k x$ 有两个零点 $x=\frac{1 \pm \sqrt{1-m(1-k)}}{k-1}$ ；
当 $\mathrm{k}=1-\frac{1}{\pi}$ 时，函数 $\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x})-\mathrm{kx}$ 有一零点 $\mathrm{x}=\frac{1}{\mathrm{k}-1}=-\pi$ ．
【点评】本题主要考查二次函数的顶点式、导数的几何意义、函数零点与方程根的关系．主要考查基础知识的综合运用和学生的计算能力。