（4分）（2008•四川）设等差数列 a _ n 的前 n…——2008 高考数学第 16 题答案解析

【考点】等差数列的前 n 项和；等差数列．
【专题】压轴题。

【分析】利用等差数列的前 n 项和公式变形为不等式，再利用消元思想确定 d 或 $\mathrm{a}_{1}$ 的范围， $a_{4}$ 用 $d$ 或 $a_{1}$ 表示，再用不等式的性质求得其范围。
【解答】解：∵ 等差数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的前 n 项和为 $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}$ ，且 $\mathrm{S}_{4} \geq 10, \mathrm{~S}_{5} \leq 15$ ，
$\therefore\left\{\begin{array}{l}S_{4}=4 a_{1}+\frac{4 \times 3}{2} d \geqslant 10 \\ S_{5}=5 a_{1}+\frac{5 \times 4}{2} d \leqslant 15\end{array}\right.$,
即 $\left\{\begin{array}{l}2 a_{1}+3 d \geqslant 5 \\ a_{1}+2 d \leqslant 3\end{array}\right.$
$\therefore\left\{\begin{array}{l}a_{4}=a_{1}+3 d \geqslant \frac{5-3 d}{2}+3 d=\frac{5+3 d}{2} \\ a_{4}=a_{1}+3 d=\left(a_{1}+2 d\right)+d \leqslant 3+d\end{array}\right.$
$\therefore \frac{5+3 d}{2} \leqslant \mathrm{a}_{4} \leqslant 3+d, \quad 5+3 d \leq 6+2 d, d \leq 1$
$\therefore \mathrm{a}_{4} \leq 3+\mathrm{d} \leq 3+1=4$ 故 $\mathrm{a}_{4}$ 的最大值为 4 ，
故答案为： 4 ．
【点评】此题重点考查等差数列的通项公式，前 n 项和公式，以及不等式的变形求范围；