（2012•天津）已知椭圆 x^ 2 a^ 2 + y^…——2012 高考数学第 19 题答案解析

【解答】
（2012•天津）已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 ~(a>b>0), ~$ 点 $P\left(\frac{\sqrt{5}}{5} a, \frac{\sqrt{2}}{2} a\right)$ 在椭圆上。
（1）求椭圆的离心率；
（2）设 A 为椭圆的左顶点， O 为坐标原点．若点 Q 在椭圆上且满足 $|\mathrm{AQ}|=|\mathrm{AO}|$ ，求直线 OQ 的斜率的值．

考 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质。
点
：
专 综合题。
题
：
分
分（1）根据点 $\mathrm{P}\left(\frac{\sqrt{5}}{5} \mathrm{a}, \frac{\sqrt{2}}{2} \mathrm{a}\right)$ 在椭圆上，可得 $\frac{\mathrm{a}^{2}}{5 \mathrm{a}^{2}}+\frac{\mathrm{a}^{2}}{2 \mathrm{~b}^{2}}=1$ ，由此可求椭圆的离心率；
②设直线 OQ 的斜率为 k ，则其方程为 $\mathrm{y}=\mathrm{kx}$ ，设点 Q 的坐标为 $\left(\mathrm{x}_{0}, \mathrm{y}_{0}\right)$ ，与椭圆方程联立， $\mathrm{x}_{0}^{2}=\frac{\mathrm{a}^{2} \mathrm{~b}^{2}}{\mathrm{k}^{2} \mathrm{a}^{2} \mathrm{t}^{2}}$ ，根据 $|\mathrm{AQ}|=|\mathrm{AO}|, \mathrm{A}(-\mathrm{a}, 0), \mathrm{y}_{0}=\mathrm{kx}_{0}$ ，可求 $\mathrm{x}_{0}=\frac{-2 \mathrm{a}}{1+\mathrm{k}^{2}}$ ，由此可求直线 OQ 的斜率的值．

解
解
答 解：（1）因为点 $\mathrm{P}\left(\frac{\sqrt{5}}{5} \mathrm{a}, \frac{\sqrt{2}}{2} \mathrm{a}\right)$ 在椭圆上，所以 $\frac{\mathrm{a}^{2}}{5 \mathrm{a}^{2}}+\frac{\mathrm{a}^{2}}{2 \mathrm{~b}^{2}}=1$
$:$ 仼的
$\therefore \frac{\mathrm{b}^{2}}{\mathrm{a}^{2}}=\frac{5}{8}$
$\therefore \mathrm{e}^{2}=1-\frac{\mathrm{b}^{2}}{\mathrm{a}^{2}}=1-\frac{5}{8}=\frac{3}{8}$
$\therefore \mathrm{e}=\frac{\sqrt{6}}{4}$
②设直线 OQ 的斜率为，则其方程为 $\mathrm{y}=\mathrm{kx}$
设点 $Q$ 的坐标为 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ ，由条件得 $\left\{\begin{array}{l}y_{0}=k x_{0} \\ \frac{x_{0}{ }^{2}}{a^{2}}+\frac{y_{0}{ }^{2}}{b^{2}}=1\end{array}\right.$ ，消元并整理可得 $x_{0}{ }^{2}=\frac{a^{2} b^{2}}{k^{2} a^{2}+b^{2}}$①
$\because|\mathrm{AQ}|=|\mathrm{AO}|, \quad \mathrm{A}(-\mathrm{a}, 0), \mathrm{y}_{0}=\mathrm{kx}_{0}$ ，
$\therefore\left(x_{0}+a\right)^{2}+k^{2} x_{0}{ }^{2}=a^{2}$
$\therefore\left(1+\mathrm{k}^{2}\right) \mathrm{x}_{0}{ }^{2}=2 \mathrm{a} \mathrm{x}_{0}$
$\because x_{0} \neq 0, \quad \therefore x_{0}=\frac{-2 a}{1+k^{2}}$
代入①，整理得 $\left(1+k^{2}\right)^{2}=4 k^{2} \times \frac{a^{2}}{b^{2}}+4$
$\because \frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{5}{8}$
$\therefore\left(1+k^{2}\right)^{2}=\frac{32}{5} k^{2}$
$\therefore 5 \mathrm{k}^{4}-22 \mathrm{k}^{2}-15=0$
$\therefore \mathrm{k}^{2}=5$
$\therefore \mathrm{k}= \pm \sqrt{5}$
点 本题考查椭圆的离心率，考查直线与椭圆的位置关系，联立方程组是关键．
评