（12分）函数 f(x)=a x^ 3 +3 x^ 2 +…——2014 高考数学第 21 题答案解析

【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．
【专题】53：导数的综合应用．
【分析】（I）求出函数的导数，通过导数为 0 ，利用二次函数的根，通过 a 的范围讨论f（x）的单调性；
（II）当 $a>0, ~ x>0$ 时，$f(x)$ 在区间（ 1,2 ）是增函数，当 $a<0$ 时，$f(x)$ 在区间 $(1,2)$ 是增函数，推出 $f^{\prime}① \geq 0$ 且 $f^{\prime}② \geq 0$ ，即可求 $a$ 的取值范围．

【解答】解：（I ）函数 $f(x)=a x^{3}+3 x^{2}+3 x$ ，
$\therefore f^{\prime}(x)=3 a x^{2}+6 x+3$ ，
令 $f^{\prime}(x)=0$ ，即 $3 a x^{2}+6 x+3=0$ ，则 $\triangle=36 ~(1-a)$,

①若 $a \geq 1$ 时，则 $\Delta \leq 0, f^{\prime}(x) \geq 0, \therefore f(x)$ 在 $R$ 上是增函数；
②因为 $a \neq 0, \therefore a \leq 1$ 且 $a \neq 0$ 时，$\Delta>0, f^{\prime}(x)=0$ 方程有两个根，$x_{1}=\frac{-1+\sqrt{1-a}}{a}, x_{2}= \frac{-1-\sqrt{1-\mathrm{a}}}{\mathrm{a}}$,
当 $00$ ，故函数在 $(- \left.\infty, x_{2}\right)$ 或 $\left(x_{1},+\infty\right)$ 是增函数；在 $\left(x_{2}, x_{1}\right)$ 是减函数；

当 $a<0$ 时，则当 $x \in\left(-\infty, x_{1}\right)$ 或 $\left(x_{2},+\infty\right), f^{\prime}(x)<0$ ，故函数在 $\left(-\infty, x_{1}\right.$ ）或 $\left(x_{2},+\infty\right)$ 是减函数；在 $\left(x_{1}, x_{2}\right)$ 是增函数；
（II）当 $a>0, x>0$ 时，$f^{\prime}(x)=3 a x^{2}+6 x+3>0$
故 $a>0$ 时，$f(x)$ 在区间 $(1,2)$ 是增函数，
当 $a<0$ 时，$f(x)$ 在区间 $(1,2)$ 是增函数，
当且仅当：$f^{\prime}① \geq 0$ 且 $f^{\prime}② \geq 0$ ，解得 $-\frac{5}{4} \leqslant a<0$ ， a 的取值范围 $\left[-\frac{5}{4}, 0\right) \cup(0,+\infty)$ ．

【点评】本题考查函数的导数的应用，判断函数的单调性以及已知单调性求解函数中的变量的范围，考查分类讨论思想的应用．