21．（12分）函数 $f(x)=a x^{3}+3 x^{2}+3 x(a \neq 0)$ ．
（I）讨论 $f$（ $x$ ）的单调性；
（II）若 $f(x)$ 在区间 $(1,2)$ 是增函数，求 $a$ 的取值范围．
(1) ①若 $a \geq 1$ 时，则 $\Delta \leq 0, f^{\prime}(x) \geq 0, \therefore f(x)$ 在 $R$ 上是增函数； ②因为 $a \neq 0, \therefore a \leq 1$ 且 $a \neq 0$ 时，$\Delta>0, f^{\prime}(x)=0$ 方程有两个根，$x_{1}=\frac{-1+\sqrt{1-a}}{a}, x_{2}= \frac{-1-\sqrt{1-\mathrm{a}}}{\mathrm{a}}$, 当 $0<a<1$ 时，则当 $x \in\left(-\infty, x_{2}\right)$ 或 $\left(x_{1},+\infty\right)$ 时，$f^{\prime}(x)>0$ ，故函数在 $(- \left.\infty, x_{2}\right)$ 或 $\left(x_{1},+\infty\right)$ 是增函数；在 $\left(x_{2}, x_{1}\right)$ 是减函数； 当 $a<0$ 时，则当 $x \in\left(-\infty, x_{1}\right)$ 或 $\left(x_{2},+\infty\right), f^{\prime}(x)<0$ ，故函数在 $\left(-\infty, x_{1}\right.$ ）或 $\left(x_{2},+\infty\right)$ 是减函数；在 $\left(x_{1}, x_{2}\right)$ 是增函数；; (2) a 的取值范围 $\left[-\frac{5}{4}, 0\right) \cup(0,+\infty)$