（12分）设函数 f(x)=x^ 3 +3 b x^ 2…——2009 高考数学第 22 题答案解析

【考点】6D：利用导数研究函数的极值；7B：二元一次不等式（组）与平面区域；R6：不等式的证明．

【专题】11：计算题；14：证明题；16：压轴题．
【分析】（1）根据极值的意义可知，极值点 $\mathrm{x}_{1} , \mathrm{x}_{2}$ 是导函数等于零的两个根，根据根的分布建立不等关系，画出满足条件的区域即可；
（2）先用消元法消去参数 b ，利用参数 c 表示出 $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}_{2}\right)$ 的值域，再利用参数 c 的范围求出 $f\left(x_{2}\right)$ 的范围即可。

【解答】解：（ I ）$f^{\prime}(x)=3 x^{2}+6 b x+3 c$ ，（2分）
依题意知，方程 $f^{\prime}(x)=0$ 有两个根 $x_{1} , x_{2}$ ，且 $x_{1} \in[-1,0], x_{2} \in[1,2]$
等价于 $f^{\prime}(-1) \geq 0, f^{\prime}(0) \leq 0, f^{\prime}① \leq 0, f^{\prime}② \geq 0$ ．
由此得 $b$ ，$c$ 满足的约束条件为 $\left\{\begin{array}{l}c \geqslant 2 b-1 \\ c \leqslant 0 \\ c \leqslant-2 b-1 \\ c \geqslant-4 b-4\end{array}\right.$（4分）
满足这些条件的点（b，c）的区域为图中阴影部分。（6分）
（II）由题设知 $f^{\prime}\left(x_{2}\right)=3 x_{2}{ }^{2}+6 b x_{2}+3 c=0$ ，
则 $\mathrm{b} \mathrm{x}_{2}=-\frac{1}{2} \mathrm{x}_{2}^{2}-\frac{1}{2} \mathrm{c}$ ，
故 $f\left(x_{2}\right)=x_{2}^{3}+3 b x_{2}^{2}+3 c x_{2}=-\frac{1}{2} x_{2}^{3}+\frac{3 c}{2} x_{2}$ ．（8分）
由于 $\mathrm{x}_{2} \in[1,2]$ ，而由（I）知 $\mathrm{c} \leq 0$ ，
故 $-4+3 c \leqslant f\left(x_{2}\right) \leqslant-\frac{1}{2}+\frac{3}{2} c$ 。
又由（I）知 $-2 \leq c \leq 0$ ，（ 10 分）
所以－10 $\leqslant f\left(x_{2}\right) \leqslant-\frac{1}{2}$ ．

【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及二元一次不等式（组 ）与平面区域和不等式的证明，属于基础题．