（12分）设函数 f(x)=a ln x+ 1-a 2 x…——2014 高考数学第 21 题答案解析

【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】53：导数的综合应用．

【分析】（1）利用导数的几何意义即可得出；
（2）对 $a$ 分类讨论：当 $a \leqslant \frac{1}{2}$ 时，当 $\frac{1}{2}1$ 时，再利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出。

【解答】解：（1）$f^{\prime}(x)=\frac{a}{x}+(1-a) x-b(x>0)$ ，
∵ 曲线 $y=f(x)$ 在点（ $1, f(1)$ ）处的切线斜率为 0 ，
$\therefore f^{\prime}(1)=a+(1-a) \times 1-b=0$ ，解得 $b=1$ ．
（2）函数 $f(x)$ 的定义域为 $(0,+\infty)$ ，由（1）可知：$f(x)=a \ln x+\frac{1-a}{2} x^{2}-x$
$\therefore f^{\prime}(x)=\frac{a}{x}+(1-a) x-1=\frac{(1-a)}{x}\left(x-\frac{a}{1-a}\right)(x-1)$ ．
（1）当 $a \leqslant \frac{1}{2}$ 时，则 $\frac{a}{1-a} \leqslant 1$ ，
则当 $x>1$ 时，$f^{\prime}(x)>0$ ，
∴ 函数 $f(x)$ 在 $(1,+\infty)$ 单调递增，
∴ 存在 $x_{0} \geq 1$ ，使得 $f\left(x_{0}\right)<\frac{a}{a-1}$ 的充要条件是 $f(1)<\frac{a}{a-1}$ ，即 $\frac{1-a}{2}-1<\frac{a}{a-1}$ ，
解得 $-\sqrt{2}-1（2）当 $\frac{1}{2}1$ ，
则当 $x \in\left(1, \frac{a}{1-a}\right)$ 时，$f^{\prime}(x)<0$ ，函数 $f(x)$ 在 $\left(1, \frac{a}{1-a}\right)$ 上单调递减；
当 $x \in\left(\frac{\mathrm{a}}{1-\mathrm{a}},+\infty\right)$ 时， $\mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{x})>0$ ，函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 在 $\left(\frac{\mathrm{a}}{1-\mathrm{a}},+\infty\right)$ 上单调递增．
∴ 存在 $x_{0} \geq 1$ ，使得 $f\left(x_{0}\right)<\frac{a}{a-1}$ 的充要条件是 $f\left(\frac{a}{1-a}\right)<\frac{a}{a-1}$ ，
而 $f\left(\frac{a}{1-a}\right)=a \ln \frac{a}{1-a}+\frac{a^{2}}{2(1-a)}+\frac{a}{a-1}>\frac{a}{a-1}$ ，不符合题意，应舍去。
（3）若 $a>1$ 时，$f(1)=\frac{1-a}{2}-1=\frac{-a-1}{2}<\frac{a}{a-1}$ ，成立。
综上可得：$a$ 的取值范围是 $(-\sqrt{2}-1, \sqrt{2}-1) \cup(1,+\infty)$ ．
【点评】本题考查了导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性极值与最值等基础知识与基本技能方法，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．