（本小题满分 12 分） 等差数列 a_ n 各项均为正整…——2008 高考数学第 19 题答案解析

【解答】
解：（1）设 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公差为 $d,\left\{b_{n}\right\}$ 的公比为 $q$ ，则 $d$ 为正整数，
$a_{n}=3+(n-1) d, \quad b_{n}=q^{n-1}$
依题意有 $\left\{\begin{array}{c}\frac{b_{a_{n+1}}}{b_{a_{n}}}=\frac{q^{3+n d}}{q^{3+(n-1) d}}=q^{d}=64=2^{6} \\ S_{2} b_{2}=(6+d) q=64\end{array}\right.$

由 $(6+d) q=64$ 知 $q$ 为正有理数，故 $d$ 为 6 的因子 $1,2,3,6$ 之一，

解（1）得 $d=2, q=8$

故 $a_{n}=3+2(n-1)=2 n+1, b_{n}=8^{n-1}$
②$S_{n}=3+5+\cdots+(2 n+1)=n(n+2)$
$\therefore \frac{1}{S_{1}}+\frac{1}{S_{2}}+\cdots+\frac{1}{S_{n}}=\frac{1}{1 \times 3}+\frac{1}{2 \times 4}+\frac{1}{3 \times 5}+\cdots+\frac{1}{n(n+2)}$

$=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\cdots+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}\right)$
$=\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}\right)<\frac{3}{4}$