（12分）设函数 f(x)= (1-x^ 2 ) e^ x…——2017 高考数学第 21 题答案解析

【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；53：导数的综合应用．
【分析】（1）求出函数的导数，求出极值点，利用导函数的符号，判断函数的单调性即可。
（2）化简 $f(x)=(1-x)(1+x) e^{x} . f(x) \leq a x+1$ ，下面对a的范围进行讨论：
①当 $a \geq 1$ 时，②当 $00(x >0$ ），推出结论；③当 $a \leq 0$ 时，推出结果，然后得到 $a$ 的取值范围。

【解答】解：（1）因为 $f(x)=\left(1-x^{2}\right) e^{x}, x \in R$ ，
所以 $f^{\prime}(x)=\left(1-2 x-x^{2}\right) e^{x}$ ，
令 $f^{\prime}(x)=0$ 可知 $x=-1 \pm \sqrt{2}$ ，
当 $x<-1-\sqrt{2}$ 或 $x>-1+\sqrt{2}$ 时 $f^{\prime}(x)<0$ ，当 $-1-\sqrt{2}0$

所以 $f(x)$ 在 $(-\infty,-1-\sqrt{2}),(-1+\sqrt{2},+\infty)$ 上单调递减，在 $(-1-\sqrt{2} ,-1+\sqrt{2})$ 上单调递增；
（2）由题可知 $f(x)=(1-x)(1+x) e^{x}$ ．下面对 $a$ 的范围进行讨论：
①当 $a \geq 1$ 时，设函数 $h(x)=(1-x) e^{x}$ ，则 $h^{\prime}(x)=-x e^{x}<0(x>0)$ ，因此 $h(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上单调递减，

又因为 $\mathrm{h}(0)=1$ ，所以 $\mathrm{h}(\mathrm{x}) \leq 1$ ，
所以 $f(x)=(1+x) h(x) \leq x+1 \leq a x+1$ ；
②当 $00(x>0)$ ，
所以 $g(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上单调递增，
又 $g(0)=1-0-1=0$ ，
所以 $\mathrm{e}^{x} \geq x+1$ ．
因为当 $0(1-x)(1+x)^{2}$ ，
所以 $(1-x)(1+x)^{2}-a x-1=x\left(1-a-x-x^{2}\right)$ ，
取 $x_{0}=\frac{\sqrt{5-4 a}-1}{2} \in(0,1)$ ，则 $\left(1-x_{0}\right) \quad\left(1+x_{0}\right)^{2}-a x_{0}-1=0$ ，
所以 $f\left(x_{0}\right)>a x_{0}+1$ ，矛盾；
（3）当 $a \leq 0$ 时，取 $x_{0}=\frac{\sqrt{5}-1}{2} \in(0,1)$ ，则 $f\left(x_{0}\right)>\left(1-x_{0}\right) \quad\left(1+x_{0}\right)^{2}=1 \geq a x_{0}+1$ ，矛盾；

综上所述，$a$ 的取值范围是 $[1,+\infty)$ ．
【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力。