2008 高考数学第 20 题答案解析

（20）（本小题满分 12 分）
在数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{1}=1, a_{2}=2$ ，且 $a_{n+1}=(1+q) a_{n}-q a_{n-1}(n \geq 2, q \neq 0)$ 。
（I）设 $b_{n}=a_{n+1}-a_{n}\left(n \in N^{*}\right)$ ，证明 $\left\{b_{n}\right\}$ 是等比数列；
（II）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（III）若 $a_{3}$ 是 $a_{6}$ 与 $a_{9}$ 的等差中项，求 $q$ 的值，并证明：对任意的 $n \in N^{*}, a_{n}$ 是 $a_{n+3}$ 与 $a_{n+6}$ 的等差中项．