（20）（本小题满分 12 分） 在数列 a_ n 中，…——2008 高考数学第 20 题答案解析

【解答】
本小题主要考查等差数列、等比数列的概念、等比数列的通项公式及前 $n$ 项和公式 ，考查运算能力和推理论证能力及分类讨论的思想方法。满分 12 分。
（ I ）证明：由题设 $a_{n+1}=(1+q) a_{n}-q a_{n-1}(n \geq 2)$ ，得 $a_{n+1}-a_{n}=q\left(a_{n}-a_{n-1}\right)$ ，即 $b_{n}=q b_{n-1}, n \geq 2$ 。

又 $b_{1}=a_{2}-a_{1}=1, q \neq 0$ ，所以 $\left\{b_{n}\right\}$ 是首项为 1 ，公比为 $q$ 的等比数列．
（ II ）解法：由（ I ）

$$ a_{2}-a_{1}=1 $$

$$ \begin{aligned} & a_{3}-a_{2}=q \\ & \ldots \ldots \\ & a_{n}-a_{n-1}=q^{2}, \quad(n \geq 2) . \end{aligned} $$

将以上各式相加，得 $a_{n}-a_{1}=1+q+\cdots+q^{n-2} \quad(n \geq 2)$ ．
所以当 $n \geq 2$ 时，$a_{n}= \begin{cases}1+\frac{1-q^{n-1}}{1-q}, & q \neq 1 \text { ，} \\ n, & q=1 \text { ．}\end{cases}$
上式对 $n=1$ 显然成立．
（III）解：由（II），当 $q=1$ 时，显然 $a_{3}$ 不是 $a_{6}$ 与 $a_{9}$ 的等差中项，故 $q \neq 1$ ．

由 $a_{3}-a_{6}=a_{9}-a_{3}$ 可得 $q^{5}-q^{2}=q^{2}-q^{8}$ ，由 $q \neq 0$ 得 $q^{3}-1=1-q^{6}$ ，

整理得 $\left(q^{3}\right)^{2}+q^{3}-2=0$ ，解得 $q^{3}=-2$ 或 $q^{3}=1$（舍去）．于是 $q=-\sqrt[3]{2}$ ．

另一方面，$a_{n}-a_{n+3}=\frac{q^{n+2}-q^{n-1}}{1-q}=\frac{q^{n-1}}{1-q}\left(q^{3}-1\right)$ ，

$$ a_{n+6}-a_{n}=\frac{q^{n-1}-q^{n+5}}{1-q}=\frac{q^{n-1}}{1-q}\left(1-q^{6}\right) . $$

由（1）可得 $a_{n}-a_{n+3}=a_{n+6}-a_{n}, \quad n \in N^{*}$ ．

所以对任意的 $n \in N^{*}, a_{n}$ 是 $a_{n+3}$ 与 $a_{n+6}$ 的等差中项．