（20）（本小题满分 12 分）
在数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{1}=1, a_{2}=2$ ，且 $a_{n+1}=(1+q) a_{n}-q a_{n-1}(n \geq 2, q \neq 0)$ 。
（I）设 $b_{n}=a_{n+1}-a_{n}\left(n \in N^{*}\right)$ ，证明 $\left\{b_{n}\right\}$ 是等比数列；
（II）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（III）若 $a_{3}$ 是 $a_{6}$ 与 $a_{9}$ 的等差中项，求 $q$ 的值，并证明：对任意的 $n \in N^{*}, a_{n}$ 是 $a_{n+3}$ 与 $a_{n+6}$ 的等差中项．
参考答案
(1) 所以 $\left\{b_{n}\right\}$ 是首项为 1 ，公比为 $q$ 的等比数列．; (2) $a_{n}= \begin{cases}1+\frac{1-q^{n-1}}{1-q}, & q \neq 1 \text { ，} \\ n, & q=1 \text { ．}\end{cases}$; (3) $q=-\sqrt[3]{2}$; (4) 所以对任意的 $n \in N^{*}, a_{n}$ 是 $a_{n+3}$ 与 $a_{n+6}$ 的等差中项．