（本小题满分 12 分）已知椭圆 E : x^ 2 a^…——2015 高考数学第 20 题答案解析

【答案】（I）$\frac{\sqrt{3}}{2}$；（II）$\frac{x^{2}}{12}+\frac{y^{2}}{3}=1$．

## 【解析】

试题分析：（I）先写过点 $(c, 0),(0, b)$ 的直线方程，再计算原点 O 到该直线的距离，进而可得椭圆 E 的离心率；（II）先由（I）知椭圆 E 的方程，设 AB 的方程，联立 $\left\{\begin{array}{l}y=k(x+2)+1 \\ x^{2}+4 y^{2}=4 b^{2}\end{array}\right.$，消去 $y$，可得 $x_{1}+x_{2}$和 $x_{1} x_{2}$ 的值，进而可得 $k$，再利用 $|\mathrm{AB}|=\sqrt{10}$ 可得 $b^{2}$ 的值，进而可得椭圆 E 的方程．

试题解析：（I）过点 $(c, 0),(0, b)$ 的直线方程为 $b x+c y-b c=0$，
则原点 O 到直线的距离 $d=\frac{b c}{\sqrt{b^{2}+c^{2}}}=\frac{b c}{a}$，
由 $d=\frac{1}{2} c$，得 $a=2 b=2 \sqrt{a^{2}-c^{2}}$，解得离心率 $\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（II）解法一：由（I）知，椭圆 E 的方程为 $x^{2}+4 y^{2}=4 b^{2}$．

依题意，圆心 $M(-2,1)$ 是线段 $A B$ 的中点，且 $|A B|=\sqrt{10}$．
易知， AB 不与 $x$ 轴垂直，设其直线方程为 $y=k(x+2)+1$，代入（1）得

$\left(1+4 k^{2}\right) x^{2}+8 k(2 k+1) x+4(2 k+1)^{2}-4 b^{2}=0$
设 $A\left(x_{1}, \mathrm{y}_{1}\right), \mathrm{B}\left(x_{2}, \mathrm{y}_{2}\right)$，则 $x_{1}+x_{2}=-\frac{8 k(2 k+1)}{1+4 k^{2}}, x_{1} x_{2}=-\frac{4(2 k+1)^{2}-4 b^{2}}{1+4 k^{2}}$．
由 $x_{1}+x_{2}=-4$，得 $-\frac{8 k(2 k+1)}{1+4 k^{2}}=-4$，解得 $k=\frac{1}{2}$．
从而 $x_{1} x_{2}=8-2 b^{2}$．
于是 $|\mathrm{AB}|=\sqrt{1+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}}\left|x_{1}-x_{2}\right|=\frac{\sqrt{5}}{2} \sqrt{\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}-4 x_{1} x_{2}}=\sqrt{10\left(b^{2}-2\right)}$．
由 $|\mathrm{AB}|=\sqrt{10}$，得 $\sqrt{10\left(b^{2}-2\right)}=\sqrt{10}$，解得 $b^{2}=3$．
故椭圆 E 的方程为 $\frac{x^{2}}{12}+\frac{y^{2}}{3}=1$．
解法二：由（I）知，椭圆 E 的方程为 $x^{2}+4 y^{2}=4 b^{2}$．

依题意，点 $A, B$ 关于圆心 $M(-2,1)$ 对称，且 $|A B|=\sqrt{10}$．
设 $A\left(x_{1}, \mathrm{y}_{1}\right), \mathrm{B}\left(x_{2}, \mathrm{y}_{2}\right)$，则 $x_{1}{ }^{2}+4 y_{1}{ }^{2}=4 b^{2}, x_{2}{ }^{2}+4 y_{2}{ }^{2}=4 b^{2}$，
两式相减并结合 $x_{1}+x_{2}=-4, \mathrm{y}_{1}+y_{2}=2$，得 $-4\left(x_{1}-x_{2}\right)+8\left(y_{1}-y_{2}\right)=0$。
易知， AB 不与 $x$ 轴垂直，则 $x_{1} \neq x_{2}$，所以 AB 的斜率 $\mathrm{k}_{A B}=\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}=\frac{1}{2}$．
因此 AB 直线方程为 $y=\frac{1}{2}(x+2)+1$，代入（2）得 $x^{2}+4 x+8-2 b^{2}=0$．
所以 $x_{1}+x_{2}=-4, x_{1} x_{2}=8-2 b^{2}$．
于是 $|\mathrm{AB}|=\sqrt{1+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}}\left|x_{1}-x_{2}\right|=\frac{\sqrt{5}}{2} \sqrt{\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}-4 x_{1} x_{2}}=\sqrt{10\left(b^{2}-2\right)}$．
由 $|\mathrm{AB}|=\sqrt{10}$，得 $\sqrt{10\left(b^{2}-2\right)}=\sqrt{10}$，解得 $b^{2}=3$．
故椭圆 E 的方程为 $\frac{x^{2}}{12}+\frac{y^{2}}{3}=1$．
考点：1、直线方程；2、点到直线的距离公式；3、椭圆的简单几何性质；4、椭圆的方程； 5、圆的方程； 6、直线与圆的位置关系；7、直线与圆锥曲线的位置．

【名师点晴】本题主要考查的是直线方程、点到直线的距离公式、椭圆的简单几何性质、椭圆的方程、圆的方程、直线与圆的位置关系和直线与圆锥曲线的位置，属于难题．解题时一定要注意考虑直线的斜率是

否存在，否则很容易失分．解本题需要掌握的知识点是截距式方程，点到直线的距离公式和椭圆的离心率，即截距式方程 $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$（在 $x$ 轴上的截距 $a$，在 $y$ 轴上的截距 $b$ ），点 $\mathrm{P}_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 到直线 $l: \mathrm{A} x+\mathrm{B} y+C=0$的距离 $d=\frac{\left|\mathrm{A} x_{0}+\mathrm{B} y_{0}+C\right|}{\sqrt{\mathrm{A}^{2}+\mathrm{B}^{2}}}$，椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的离心率 $e=\frac{c}{a}$．