2021_新课标 II 卷 (2021)
21.
一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第 0 代，经过一次繁殖后为第 1 代，再经过一次繁殖后为第 2 代⋯⋯，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设 $X$ 表示 1 个微生物个体繁殖下一代的个数，$P(X=i)=p_{i}(i=0,1,2,3)$ ．
（1）已知 $p_{0}=0.4, p_{1}=0.3, p_{2}=0.2, p_{3}=0.1$ ，求 $E(X)$ ；
②设 $p$ 表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，$p$ 是关于 $x$ 的方程：$p_{0}+p_{1} x+p_{2} x^{2}+p_{3} x^{3}=x$的一个最小正实根，求证：当 $E(X) \leq 1$ 时，$p=1$ ，当 $E(X)>1$ 时，$p<1$ ；
（3）根据你的理解说明②问结论的实际含义。
【答案】（1）1；（2）见解析；（3）见解析．
【解析】
【分析】（1）利用公式计算可得 $E(X)$ ．
（2）利用导数讨论函数的单调性，结合 $f(1)=0$ 及极值点的范围可得 $f(x)$ 的最小正零点．
（3）利用期望的意义及根的范围可得相应的理解说明．
【详解】①$E(X)=0 \times 0.4+1 \times 0.3+2 \times 0.2+3 \times 0.1=1$ ．
②设 $f(x)=p_{3} x^{3}+p_{2} x^{2}+\left(p_{1}-1\right) x+p_{0}$ ，
因为 $p_{3}+p_{2}+p_{1}+p_{0}=1$ ，故 $f(x)=p_{3} x^{3}+p_{2} x^{2}-\left(p_{2}+p_{0}+p_{3}\right) x+p_{0}$ ，
若 $E(X) \leq 1$ ，则 $p_{1}+2 p_{2}+3 p_{3} \leq 1$ ，故 $p_{2}+2 p_{3} \leq p_{0}$ ．
$f^{\prime}(x)=3 p_{3} x^{2}+2 p_{2} x-\left(p_{2}+p_{0}+p_{3}\right)$,
因为 $f^{\prime}(0)=-\left(p_{2}+p_{0}+p_{3}\right)<0, f^{\prime}(1)=p_{2}+2 p_{3}-p_{0} \leq 0$ ，
故 $f^{\prime}(x)$ 有两个不同零点 $x_{1}, x_{2}$ ，且 $x_{1}<0<1 \leq x_{2}$ ，
且 $x \in\left(-\infty, x_{1}\right) \cup\left(x_{2},+\infty\right)$ 时，$f^{\prime}(x)>0 ; x \in\left(x_{1}, x_{2}\right)$ 时，$f^{\prime}(x)<0$ ；
故 $f(x)$ 在 $\left(-\infty, x_{1}\right),\left(x_{2},+\infty\right)$ 上为增函数，在 $\left(x_{1}, x_{2}\right)$ 上为减函数，
若 $x_{2}=1$ ，因为 $f(x)$ 在 $\left(x_{2},+\infty\right)$ 为增函数且 $f(1)=0$ ，
而当 $x \in\left(0, x_{2}\right)$ 时，因为 $f(x)$ 在 $\left(x_{1}, x_{2}\right)$ 上为减函数，故 $f(x)>f\left(x_{2}\right)=f(1)=0$ ，
故 1 为 $p_{0}+p_{1} x+p_{2} x^{2}+p_{3} x^{3}=x$ 的一个最小正实根，
若 $x_{2}>1$ ，因为 $f(1)=0$ 且在 $\left(0, x_{2}\right)$ 上为减函数，故 1 为 $p_{0}+p_{1} x+p_{2} x^{2}+p_{3} x^{3}=x$ 的一个最小正实根，
综上，若 $E(X) \leq 1$ ，则 $p=1$ ．
若 $E(X)>1$ ，则 $p_{1}+2 p_{2}+3 p_{3}>1$ ，故 $p_{2}+2 p_{3}>p_{0}$ ．
此时 $f^{\prime}(0)=-\left(p_{2}+p_{0}+p_{3}\right)<0, f^{\prime}(1)=p_{2}+2 p_{3}-p_{0}>0$ ，
故 $f^{\prime}(x)$ 有两个不同零点 $x_{3}, x_{4}$ ，且 $x_{3}<0
故 $f(x)$ 在 $\left(-\infty, x_{3}\right),\left(x_{4},+\infty\right)$ 上为增函数，在 $\left(x_{3}, x_{4}\right)$ 上为减函数，
而 $f(1)=0$ ，故 $f\left(x_{4}\right)<0$ ，
又 $f(0)=p_{0}>0$ ，故 $f(x)$ 在 $\left(0, x_{4}\right)$ 存在一个零点 $p$ ，且 $p<1$ ．
所以 $p$ 为 $p_{0}+p_{1} x+p_{2} x^{2}+p_{3} x^{3}=x$ 的一个最小正实根，此时 $p<1$ ，
故当 $E(X)>1$ 时，$p<1$ ．
（3）意义：每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过 1 ，则若干代必然灭绝，若繁殖后代的平均数超过 1 ，则若干代后被灭绝的概率小于 1 ．