2021 高考数学第 21 题答案解析

21.

一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第 0 代，经过一次繁殖后为第 1 代，再经过一次繁殖后为第 2 代⋯⋯，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设 $X$ 表示 1 个微生物个体繁殖下一代的个数，$P(X=i)=p_{i}(i=0,1,2,3)$ ．
（1）已知 $p_{0}=0.4, p_{1}=0.3, p_{2}=0.2, p_{3}=0.1$ ，求 $E(X)$ ；
②设 $p$ 表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，$p$ 是关于 $x$ 的方程：$p_{0}+p_{1} x+p_{2} x^{2}+p_{3} x^{3}=x$的一个最小正实根，求证：当 $E(X) \leq 1$ 时，$p=1$ ，当 $E(X)>1$ 时，$p<1$ ；
（3）根据你的理解说明②问结论的实际含义。