设函数 f(x)=x^ 3 +b x+c，曲线 y=f(x…——2020 高考数学第 21 题答案解析

【答案】（1）$b=-\frac{3}{4}$ ；（2）证明见解析

## 【解析】

【分析】
（1）利用导数的几何意义得到 $f^{\prime}\left(\frac{1}{2}\right)=0$ ，解方程即可；
②由（1）可得 $f^{\prime}(x)=3 x^{2}-\frac{3}{4}=2\left(x+\frac{1}{2}\right)\left(x-\frac{1}{2}\right)$ ，易知 $f(x)$ 在 $\left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$ 上单调递减，在 $\left(-\infty,-\frac{1}{2}\right),\left(\frac{1}{2},+\infty\right)$ 上单调递增，且

$f(-1)=c-\frac{1}{4}, f\left(-\frac{1}{2}\right)=c+\frac{1}{4}, f\left(\frac{1}{2}\right)=c-\frac{1}{4}, f(1)=c+\frac{1}{4}$ ，采用反证法，推出矛盾即可．
【详解】（1）因为 $f^{\prime}(x)=3 x^{2}+b$ ，
由题意，$f^{\prime}\left(\frac{1}{2}\right)=0$ ，即 $3 \times\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+b=0$
则 $b=-\frac{3}{4}$ ；
②由（1）可得 $f(x)=x^{3}-\frac{3}{4} x+c$ ，
$f^{\prime}(x)=3 x^{2}-\frac{3}{4}=3\left(x+\frac{1}{2}\right)\left(x-\frac{1}{2}\right)$,
令 $f^{\prime}(x)>0$ ，得 $x>\frac{1}{2}$ 或 $x<-\frac{1}{2}$ ；令 $f^{\prime}(x)<0$ ，得 $-\frac{1}{2}所以 $f(x)$ 在 $\left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$ 上单调递减，在 $\left(-\infty,-\frac{1}{2}\right),\left(\frac{1}{2},+\infty\right)$ 上单调递增，
且 $f(-1)=c-\frac{1}{4}, f\left(-\frac{1}{2}\right)=c+\frac{1}{4}, f\left(\frac{1}{2}\right)=c-\frac{1}{4}, f(1)=c+\frac{1}{4}$ ，
若 $f(x)$ 所有零点中存在一个绝对值大于 1 的零点 $x_{0}$ ，则 $f(-1)>0$ 或 $f(1)<0$ ，
即 $c>\frac{1}{4}$ 或 $c<-\frac{1}{4}$ ．
当 $c>\frac{1}{4}$ 时，$f(-1)=c-\frac{1}{4}>0, f\left(-\frac{1}{2}\right)=c+\frac{1}{4}>0, f\left(\frac{1}{2}\right)=c-\frac{1}{4}>0, f(1)=c+\frac{1}{4}>0$ ，
又 $f(-4 c)=-64 c^{3}+3 c+c=4 c\left(1-16 c^{2}\right)<0$ ，
由零点存在性定理知 $f(x)$ 在 $(-4 c,-1)$ 上存在唯一一个零点 $x_{0}$ ，
即 $f(x)$ 在 $(-\infty,-1)$ 上存在唯一一个零点，在 $(-1,+\infty)$ 上不存在零点，
此时 $f(x)$ 不存在绝对值不大于 1 的零点，与题设矛盾；
当 $c<-\frac{1}{4}$ 时，$f(-1)=c-\frac{1}{4}<0, f\left(-\frac{1}{2}\right)=c+\frac{1}{4}<0, f\left(\frac{1}{2}\right)=c-\frac{1}{4}<0, f(1)=c+\frac{1}{4}<0$ ，
又 $f(-4 c)=64 c^{3}+3 c+c=4 c\left(1-16 c^{2}\right)>0$ ，
由零点存在性定理知 $f(x)$ 在 $(1,-4 c)$ 上存在唯一一个零点 $x_{0}^{\prime}$ ，
即 $f(x)$ 在 $(1,+\infty)$ 上存在唯一一个零点，在 $(-\infty, 1)$ 上不存在零点，
此时 $f(x)$ 不存在绝对值不大于 1 的零点，与题设矛盾；
综上，$f(x)$ 所有零点的绝对值都不大于 1 ．
【点晴】本题主要考查利用导数研究函数的零点，涉及到导数的几何意义，反证法，考查学

生逻辑推理能力，是一道有一定难度的题．