已知函数 f(x)=x^ 3 -x^ 2 +a x+1 ．…——2021 高考数学第 21 题答案解析

答案：
见解析
解析：
①$f^{\prime}(x)=3 x^{2}-2 x+a$
（i）当 $\Delta=4-12 a \leq 0$ ，即 $a \geq \frac{1}{3}$ 时，$f^{\prime}(x) \geq 0$ 恒成立，即 $f(x)$ 在 $f(x)$ 在 $x \in \mathbf{R}$ 上单调递增。
（ii）当 $\Delta=4-12>0$ ，即 $a<\frac{1}{3}$ 时，$f^{\prime}(x)=0$ 解得，$x_{1}=\frac{1-\sqrt{1-3 a}}{3}$ ，
$x_{2}=\frac{1+\sqrt{1-3 a}}{3}$.

$\therefore f(x)$ 在 $\left(-\infty, \frac{1-\sqrt{1-3 a}}{3}\right),\left(\frac{1+\sqrt{1-3 a}}{3},+\infty\right)$ 单调递增，在 $\left(\frac{1-\sqrt{1-3 a}}{3}, \frac{1+\sqrt{1+3 a}}{3}\right)$ 单调递减，综上所述：当 $a \geq \frac{1}{3}$ 时，$f(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上单调递增；当 $a<\frac{1}{3}$ 时，$f(x)$ 在 $\left(\frac{1-\sqrt{1-3 a}}{3}, \frac{1+\sqrt{1+3 a}}{3}\right)$ 单调递减．
（2）设可原点切线的切点为 $\left(t, t^{3}-t^{2}+a t+1\right)$ ，切线斜率 $k=f^{\prime}(t)=3 t^{2}-2 t+a$ ．又 $k=\frac{t^{3}-t^{2}+a t+1}{t}, ~$ 可得 $\frac{t^{3}-t^{2}+a t+1}{t}=3 t^{2}-2 t+a$ 。化简得 $(t-1)\left(2 t^{2}+t+1\right)=0$ ，即 $t=1 . \therefore$ 切点为 $(1, a+1)$ ，斜率 $k=a+1$ ，切线方程为 $y=(a+1) x$ ，将 $y=(a+1) x$ ，

$y=x^{3}-x^{2}+a x+1$ 联立可得 $x^{3}-x^{2}+a x+1=(a+1) x$ ，化简得 $(x-1)^{2}(x+1)=0$ ，解得 $x_{1}=1, x_{2}=-1 . \therefore$ 过原点的切线与 $y=f(x)$ 公共点坐标为 $(1, a+1),(-1,-a-1)$ ．