已知椭圆 E 的中心为坐标原点，对称轴为 x 轴、 y 轴…——2022 高考数学第 21 题答案解析

【答案】①$\frac{y^{2}}{4}+\frac{x^{2}}{3}=1$
②$(0,-2)$

## 【解析】

【分析】（1）将给定点代入设出的方程求解即可；
②设出直线方程，与椭圆 $C$ 的方程联立，分情况讨论斜率是否存在，即可得解．

## 【小问 1 详解】

解：设椭圆 $E$ 的方程为 $m x^{2}+n y^{2}=1$ ，过 $A(0,-2), B\left(\frac{3}{2},-1\right)$ ，
则 $\left\{\begin{array}{c}4 n=1 \\ \frac{9}{4} m+n=1\end{array}\right.$ ，解得 $m=\frac{1}{3}, n=\frac{1}{4}$ ，
所以椭圆 $E$ 的方程为：$\frac{y^{2}}{4}+\frac{x^{2}}{3}=1$ ．

## 【小问 2 详解】

$A(0,-2), B\left(\frac{3}{2},-1\right)$ ，所以 $A B: y+2=\frac{2}{3} x$ ，
（1）若过点 $P(1,-2)$ 的直线斜率不存在，直线 $x=1$ ．代入 $\frac{x^{2}}{3}+\frac{y^{2}}{4}=1$ ，
可得 $M\left(1,-\frac{2 \sqrt{6}}{3}\right), N\left(1, \frac{2 \sqrt{6}}{3}\right)$ ，代入 $A B$ 方程 $y=\frac{2}{3} x-2$ ，可得
$T\left(-\sqrt{6}+3,-\frac{2 \sqrt{6}}{3}\right)$ ，由 $\overrightarrow{M T}=\overrightarrow{T H}$ 得到 $H\left(-2 \sqrt{6}+5,-\frac{2 \sqrt{6}}{3}\right)$ ．求得 $H N$ 方程：
$y=\left(2+\frac{2 \sqrt{6}}{3}\right) x-2$ ，过点 $(0,-2)$ ．
（2）若过点 $P(1,-2)$ 的直线斜率存在，设 $k x-y-(k+2)=0, M\left(x_{1}, y_{1}\right), N\left(x_{2}, y_{2}\right)$ ．

联立 $\left\{\begin{array}{c}k x-y-(k+2)=0 \\ \frac{x^{2}}{3}+\frac{y^{2}}{4}=1\end{array}\right.$ ，得 $\left(3 k^{2}+4\right) x^{2}-6 k(2+k) x+3 k(k+4)=0$ ，
可得 $\left\{\begin{array}{c}x_{1}+x_{2}=\frac{6 k(2+k)}{3 k^{2}+4} \\ x_{1} x_{2}=\frac{3 k(4+k)}{3 k^{2}+4}\end{array},\left\{\begin{array}{c}y_{1}+y_{2}=\frac{-8(2+k)}{3 k^{2}+4} \\ y_{2} y_{2}=\frac{4\left(4+4 k-2 k^{2}\right)}{3 k^{2}+4}\end{array}\right.\right.$ ，
且 $x_{1} y_{2}+x_{2} y_{1}=\frac{-24 k}{3 k^{2}+4}\left({ }^{*}\right)$
联立 $\left\{\begin{array}{c}y=y_{1} \\ y=\frac{2}{3} x-2\end{array}\right.$ ，可得 $T\left(\frac{3 y_{1}}{2}+3, y_{1}\right), H\left(3 y_{1}+6-x_{1}, y_{1}\right)$ ．
可求得此时 $H N: y-y_{2}=\frac{y_{1}-y_{2}}{3 y_{1}+6-x_{1}-x_{2}}\left(x-x_{2}\right)$ ，
将 $(0,-2)$ ，代入整理得 $2\left(x_{1}+x_{2}\right)-6\left(y_{1}+y_{2}\right)+x_{1} y_{2}+x_{2} y_{1}-3 y_{1} y_{2}-12=0$ ，
将（＊）代入，得 $24 k+12 k^{2}+96+48 k-24 k-48-48 k+24 k^{2}-36 k^{2}-48=0$ ，显然成立，

综上，可得直线 $H N$ 过定点 $(0,-2)$ ．
【点睛】求定点、定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．