21．（12分）已知函数 $f(x)=\frac{1}{x}-x+a \ln x$ ．
（1）讨论 $f(x)$ 的单调性；
（2）若 $f(x)$ 存在两个极值点 $x_{1}, x_{2}$ ，证明：$\frac{f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)}{x_{1}-x_{2}}<a-2$ ．
参考答案
(1) 综上当 $a \leq 2$ 时，$f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上是减函数， 当 $a>2$ 时，在 $\left(0, \frac{a-\sqrt{a^{2}-4}}{2}\right)$ ，和 $\left(\frac{a+\sqrt{a^{2}-4}}{2},+\infty\right)$ 上是减函数， 则 $\left(\frac{a-\sqrt{a^{2}-4}}{2}, \frac{a+\sqrt{a^{2}-4}}{2}\right)$ 上是增函数．; (2) $\frac{f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)}{x_{1}-x_{2}}<a-2$ 成立。