【答案】（I ）$\frac{\sqrt{2}}{2}$；（II） $10(y-2)^{2}-3 x^{2}=18$，其中 $x \in\left(-\frac{\sqrt{6}}{2}, \frac{\sqrt{6}}{2}\right), y \in\left(\frac{1}{2}, 2-\frac{3 \sqrt{5}}{5}\right]$．
【解析】（I）由椭圆定义知，
$$
2 a=\left|P F_{1}\right|+\left|P F_{2}\right|=\sqrt{\left(\frac{4}{3}+1\right)^{2}+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}}+\sqrt{\left(\frac{4}{3}-1\right)^{2}+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}}=2 \sqrt{2}
$$
所以 $a=\sqrt{2}$．
又由已知，$c=1$，
所以椭圆 $C$ 的离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（II）由（I）知，椭圆 $C$ 的方程为 $\frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1$
设点 $Q$ 的坐标为 $(x, y)$．
①当直线 $l$ 与 $x$ 轴垂直时，直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $(0,1)$、 $(0,-1)$ 两点，
此时点 $Q$ 的坐标为 $\left(0,2-\frac{3 \sqrt{5}}{5}\right)$．
②当直线 $l$ 与 $x$ 轴不垂直时，设直线 $l$ 的方程为 $y=k x+2$，
因为 $M, N$ 在直线 $l$ 上，可设点 $M, N$ 的坐标分别为 $\left(x_{1}, k x_{1}+2\right),\left(x_{2}, k x_{2}+2\right)$，则 $|A M|^{2}=\left(1+k^{2}\right) x_{1}^{2},|A N|^{2}=\left(1+k^{2}\right) x_{2}^{2}$.
，$|A Q|^{2}=x^{2}+(y-2)^{2}=\left(1+k^{2}\right) x^{2}$．
由 $\frac{2}{|A Q|^{2}}=\frac{1}{|A M|^{2}}+\frac{1}{|A N|^{2}}$，得
$\frac{2}{\left(1+k^{2}\right) x^{2}}=\frac{1}{\left(1+k^{2}\right) x_{1}^{2}}+\frac{1}{\mid\left(1+k^{2}\right) x_{2}^{2}}$，即
$\frac{2}{x^{2}}=\frac{1}{x_{1}^{2}}+\frac{1}{x_{2}^{2}}=\frac{\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}-2 x_{1} x_{2}}{\left(x_{1} x_{2}\right)^{2}}$.
将 $y=k x+2$ 代入 $\frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1$ 中，得
$$
\left(2 k^{2}+1\right) x^{2}+8 k x+6=0
$$
由 $\Delta=(8 k)^{2}-4 \times\left(2 k^{2}+1\right) \times 6>0$，得 $k^{2}>\frac{3}{2}$．
由②可知，$x_{1}+x_{2}=-\frac{8 k}{2 k^{2}+1}, x_{1} x_{2}=\frac{6}{2 k^{2}+1}$，
代入①中并化简，得
$$
x^{2}=\frac{18}{10 k^{2}-3}
$$
因为点 $Q$ 在直线 $y=7 x+2$ 上，所以 $k=\frac{y-2}{x}$，代入（3）中并化简，得 $10(y-2)^{2}-3 x^{2}=18$.
由（3）及 $k^{2}>\frac{3}{2}$，可知 $0又 $\left(0,2-\frac{3 \sqrt{5}}{5}\right)$ 满足 $10(y-2)^{2}-3 x^{2}=18$，故 $x \in\left(-\frac{\sqrt{6}}{2}, \frac{\sqrt{6}}{2}\right)$．
由题意，$Q$ 在椭圆 $C$ 内，所以 $-1 \leq y \leq 1$，
又由 $10(y-2)^{2}=18+3 x^{2}$ 有
$(y-2)^{2} \in\left[\frac{9}{5}, \frac{9}{4}\right)$ 且 $-1 \leq y \leq 1$，则 $y \in\left(\frac{1}{2}, 2-\frac{3 \sqrt{5}}{5}\right]$
所以，点 $Q$ 的轨迹方程为 $10(y-2)^{2}-3 x^{2}=18$，其中 $x \in\left(-\frac{\sqrt{6}}{2}, \frac{\sqrt{6}}{2}\right)$，
$y \in\left(\frac{1}{2}, 2-\frac{3 \sqrt{5}}{5}\right]$
【考点定位】本小题主要考查直线、椭圆、曲线与方程等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合、转化与化归、分类与整合等数学思想，并考查思维的严谨性。计算出错（整式、分式、根式运算中，在代入、变形、整理、化简诸环节出错）；公式出错（一元二次不等式的解集公式、斜率公式、韦达定理等）；概念出错（求轨迹方程时，忘记检验纯粹性）。