21．（2009 浙江理 21）已知椭圆 $C_{1}: \frac{y^{2}}{a^{2}}+\frac{x^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的右顶点为 $A(1,0)$ ，过 $C_{1}$ 的焦点且垂直长轴的弦长为 1 。
（1）求椭圆 $C_{1}$ 的方程；
（II）设点 $P$ 在抛物线 $C_{2}: y=x^{2}+h(h \in \boldsymbol{R})$ 上，$C_{2 \text { 在点 } P \text { 处的切线与 } C_{1} \text { 交于点 }} M, N$ 当线段 $A P$ 的中点与 $M N$ 的中点的横坐标相等时，求 $h$ 的最小值。
参考答案解析：（1）由题意得 $\left\{\begin{array}{l}b=1 \\ 2 \cdot \frac{b^{2}}{a}=1, \therefore\left\{\begin{array}{l}a=2 \\ b=1\end{array},\right.\end{array}\right.$ 所求的椭圆方程为 $\frac{y^{2}}{4}+x^{2}=1$ ， （II）不妨设 $M\left(x_{1}, y_{1}\right), N\left(x_{2}, y_{2}\right), P\left(t, t^{2}+h\right)$ ，则抛物线 $C_{2}$ 在点 P 处的切线斜率为 $\left.y^{\prime}\right|_{x=t}=2 t$ ，直线 MN 的方程为 $y=2 t x-t^{2}+h$ ，将上式代入椭圆 $C_{1}$ 的方程中，得 $4 x^{2}+\left(2 t x-t^{2}+h\right)^{2}-4=0$ ，即 $4\left(1+t^{2}\right) x^{2}-4 t\left(t^{2}-h\right) x+\left(t^{2}-h\right)^{2}-4=0$ ，因为直线 MN 与椭圆 $C_{1}$ 有两个不同的交点，所以有 $\Delta_{1}=16\left[-t^{4}+2(h+2) t^{2}-h^{2}+4\right]>0$ ， 设线段 MN 的中点的横坐标是 $x_{3}$ ，则 $x_{3}=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}=\frac{t\left(t^{2}-h\right)}{2\left(1+t^{2}\right)}$ ， 设线段 PA 的中点的横坐标是 $x_{4}$ ，则 $x_{4}=\frac{t+1}{2}$ ，由题意得 $x_{3}=x_{4}$ ，即有 $t^{2}+(1+h) t+1=0$ ，其中的 $\Delta_{2}=(1+h)^{2}-4 \geq 0, \therefore h \geq 1$ 或 $h \leq-3$ ； 当 $h \leq-3_{\text {时有 }} h+2<0,4-h^{2}<0$ ，因此不等式 $\Delta_{1}=16\left[-t^{4}+2(h+2) t^{2}-h^{2}+4\right]>0$ 不成立； 因此 $h \geq 1$ ，当 $h=1$ 时代入方程 $t^{2}+(1+h) t+1=0$ 得 $t=-1$ ，将 $h=1, t=-1$ 代入不等式 $\Delta_{1}=16\left[-t^{4}+2(h+2) t^{2}-h^{2}+4\right]>0$ 成立，因此 $h$ 的最小值为 1