2008 北京卷 · 理 数学

2．若 $a=2^{0.5}, b=\log _{\pi} 3, c=\log _{2} \sin \frac{2 \pi}{5}$ ，则（ ）

3．＂函数 $f(x)(x \in \mathbf{R})$ 存在反函数＂是＂函数 $f(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上为增函数＂的（ ）

4．若点 $P$ 到直线 $x=-1$ 的距离比它到点 $(2,0)$ 的距离小 1 ，则点 $P$ 的轨迹为（）

5．若实数 $x, y$ 满足 $\left\{\begin{array}{l}x-y+1 \geqslant 0, \\ x+y \geqslant 0, \\ x \leqslant 0,\end{array}\right.$ 则 $z=3^{x+2 y}$ 的最小值是

6．已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 对任意的 $p, q \in \mathbf{N}^{*}$ 满足 $a_{p+q}=a_{p}+a_{q}$ ，且 $a_{2}=-6$ ，那么 $a_{10}$ 等于

）

7．过直线 $y=x$ 上的一点作圆 $(x-5)^{2}+(y-1)^{2}=2$ 的两条切线 $l_{1}, l_{2}$ ，当直线 $l_{1}, l_{2}$ 关于 $y=x$ 对称时，它们之间的夹角为（ ）

9．已知 $(a-i)^{2}=2 i$ ，其中 $i$ 是虚数单位，那么实数 $a=$ $\_\_\_\_$。

10．已知向量 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的夹角为 $120^{\circ}$ ，且 $|\boldsymbol{a}|=|\boldsymbol{b}|=4$ ，那么 $\boldsymbol{b} \bullet(2 \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})$ 的值为 $\_\_\_\_$ ．

13．已知函数 $f(x)=x^{2}-\cos x$ ，对于 $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ 上的任意 $x_{1}, x_{2}$ ，有如下条件：
（1）$x_{1}>x_{2}$ ；
②$x_{1}^{2}>x_{2}^{2}$ ；
③$\left|x_{1}\right|>x_{2}$ ．

其中能使 $f\left(x_{1}\right)>f\left(x_{2}\right)$ 恒成立的条件序号是 $\_\_\_\_$ ．

14．某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第 $k$ 棵树种植在点 $P_{k}\left(x_{k}, y_{k}\right)$ 处，其中 $x_{1}=1, y_{1}=1$ ，当 $k \geqslant 2$ 时，

$$ \left\{\begin{array}{l} x_{k}=x_{k-1}+1-5\left[T\left(\frac{k-1}{5}\right)-T\left(\frac{k-2}{5}\right)\right] \\ y_{k}=y_{k-1}+T\left(\frac{k-1}{5}\right)-T\left(\frac{k-2}{5}\right) \end{array}\right. $$

$T(a)$ 表示非负实数 $a$ 的整数部分，例如 $T(2.6)=2, T(0.2)=0$ ．
按此方案，第 6 棵树种植点的坐标应为 $\_\_\_\_$ ；第2008棵树种植点的坐标应为 $\_\_\_\_$。

15．（本小题共 13 分）
已知函数 $f(x)=\sin ^{2} \omega x+\sqrt{3} \sin \omega x \sin \left(\omega x+\frac{\pi}{2}\right)(\omega>0)$ 的最小正周期为 $\pi$ ．
（I）求 $\omega$ 的值；
（II）求函数 $f(x)$ 在区间 $\left[0, \frac{2 \pi}{3}\right]$ 上的取值范围．

19．（本小题共14分）
已知菱形 $A B C D$ 的顶点 $A, C$ 在椭圆 $x^{2}+3 y^{2}=4$ 上，对角线 $B D$ 所在直线的斜率为 1 ．
（I）当直线 $B D$ 过点 $(0,1)$ 时，求直线 $A C$ 的方程；
（II）当 $\angle A B C=60^{\circ}$ 时，求菱形 $A B C D$ 面积的最大值．