2014 地方卷 · 文 数学

已知集合 $M = \{2, 3, 4\}$，$N = \{0, 2, 3, 5\}$，则 $M \cap N = ($　　$)$

已知复数 $z$ 满足 $(3 - 4i)z = 25$，则 $z = ($　　$)$

已知向量 $\vec{a} = (1, 2)$，$\vec{b} = (3, 1)$ 则 $\vec{b} - \vec{a} = ($　　$)$

若变量 $x$，$y$ 满足约束条件 $\begin{cases} x + 2y \leq 8 \\ 0 \leq x \leq 4 \\ 0 \leq y \leq 3 \end{cases}$，则 $z = 2x + y$ 的最大值等于（　　）

下列函数为奇函数的是（　　）

为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为（　　）

在$\triangle ABC$中，角$A,B,C$所对应的边分别为$a,b,c$，则“$a\le b$”是“$\sin A\le \sin B$”的（ ）

若实数$k$满足$0<k<5$，则曲线$\dfrac{x^{2}}{16}-\dfrac{y^{2}}{5-k}=1$与曲线$\dfrac{x^{2}}{16-k}-\dfrac{y^{2}}{5}=1$的（ ）

若空间中四条两两不同的直线$l_{1},l_{2},l_{3},l_{4}$，满足$l_{1}\perp l_{2},l_{2}\parallel l_{3},l_{3}\perp l_{4}$，则下列结论一定正确的是（ ）

对任意复数$w_{1},w_{2}$，定义$\omega_{1}*\omega_{2}=\omega_{1}\overline{\omega_{2}}$，其中$\overline{\omega_{2}}$是$\omega_{2}$的共轭复数，对任意复数$z_{1},z_{2},z_{3}$有如下四个命题：
①$(z_{1}+z_{2})*z_{3}=(z_{1}*z_{3})+(z_{2}*z_{3})$；②$z_{1}*(z_{2}+z_{3})=(z_{1}*z_{2})+(z_{1}*z_{3})$；
③$(z_{1}*z_{2})*z_{3}=z_{1}*(z_{2}*z_{3})$；④$z_{1}*z_{2}=z_{2}*z_{1}$；
则真命题的个数是（ ）

12．从字母 $a, b, c, d, e$ 中任取两个不同字母，则取字母 $a$ 的概率为 $\_\_\_\_$ ．

15．（几何证明选讲选做题）如图1，在平行四边形 $A B C D$ 中，点 $E$ 在 $A B$ 上，且 $E B=2 A E, A C$ 与 $D E$ 交于点 $F$ ，则 $\frac{\triangle C D F \text { 的周长 }}{\triangle A E F \text { 的周长 }}=$ $\_\_\_\_$。

三．解答题。本大题共 6 小题，满分 80 分。解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤。

（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线$C_{1}$和$C_{2}$的方程分别为$2\rho\cos^{2}\theta=\sin\theta$和$\rho\cos\theta=1$，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为$x$轴的正半轴，建立直角坐标系，则曲线$C_{1}$与$C_{2}$交点的直角坐标为__________．

19．（本小题满分 14 分）

设各项均为正数的数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n}$ 满足 $S_{n}^{2}-\left(n^{2}+n-3\right) S_{n}-3\left(n^{2}+n\right)=0, n \in N^{*}$ ．
（1）求 $a_{1}$ 的值；
（2）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（3）证明：对一切正整数 $n$ ，有 $\frac{1}{a_{1}\left(a_{1}+1\right)}+\frac{1}{a_{2}\left(a_{2}+1\right)}+\cdots \frac{1}{a_{n}\left(a_{n}+1\right)}<\frac{1}{3}$ ．