2014 上海卷 数学

【2014年上海，文1，5分】函数 $y = 1 - 2 \cos ^ { 2 } ( 2 x )$ 的最小正周期是

$$ \frac { \pi } { 2 } $$

【2014年上海，文2，5分】若复数 $z = 1 + 2 \mathrm { i }$ ，其中i是虚数单位，则 $\left( z + { \frac { 1 } { \bar { z } } } \right) \cdot \bar { z } =$

【2014年上海，文3，5分】设常数 $a \in \mathbf { R }$ ，函数 $f ( x ) = \mid x - 1 \mid + \mid x ^ { 2 } - a \mid$ ，若 $f ( 2 ) = 1$
则 $f ( 1 ) = -$

【2014年上海，文4，5分】若抛物线 $y ^ { 2 } = 2 p x$ 的焦点与椭圆 $\frac { x ^ { 2 } } { 9 } + \frac { y ^ { 2 } } { 5 } = 1$ 的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为

【2014年上海，文5，5分】某校高一、高二、高三分别有学生1600名、1200名、800名．为了解该校高中学生的牙齿健康状况，按各年级的学生数进行分层抽样．若高三抽取20名学生，则高一、高二共需抽取的学生数为

【2014年上海，文6，5分】若实数x y, 满足 $x y = 1$ ，则 $x ^ { 2 } + 2 y ^ { 2 }$ 的最小值为【答案】 $2 \sqrt { 2 }$

【2014年上海，文7，5分】若圆锥的侧面积是底面积的三倍，则其母线与轴所成的角大小为 ．（结果用反三角函数值表示）

【2014年上海，文8，5分】在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如图，则切割掉的两个小长方体的体积之和等于

【2014年上海，文10，5分】设无穷等比数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的公比为 q，若

$$ a _ { 1 } = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } ( a _ { 3 } + a _ { 4 } + \cdots + a _ { n } ) , q = \qquad \quad \cdot $$

【2014年上海，文11，5分】若 $f ( x ) = x ^ { \frac { 2 } { 3 } } - x ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } }$ ，则满足 $f ( x ) < 0$ 的x的取值范围是

【2014年上海，文12，5分】方程 $\sin x + { \sqrt { 3 } } \cos x = 1$ 在区间[0,2π]上的所有解的和等【答案】 $\frac { 7 \pi } { 3 }$

【2014年上海，文13，5分】为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是

（结果用最简分数表示）

【2014年上海，文15，5分】设 $a , b \in \mathbf { R }$ ，则 $^ { \cdot } a + b > 4 ^ { \cdot \cdot }$ 是 $^ { \circ } a > 2$ 且 $b > 2$ ”的（ ）（A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件 （C）充要条件（D）既非充分也非必要条件

【2014年上海，文16，5分】已知互异的复数 $^ { a , b }$ 满足 $a b \neq 0$ ，集合 $\{ a , b \} = \{ a ^ { 2 } , b ^ { 2 } \}$
则 $a + b = \textrm { ( ) }$

【2014年上海，文17，5分】如图，四个边长为1的小正方形排成一个大正方形，AB是大正方形的一条边， $P _ { i } ( i = 1 , 2 , 3 , \cdots , 7 )$ 是小正方形的其余顶点，则$\overrightarrow { A B } \cdot \overrightarrow { A P _ { i } } ( i = 1 , 2 , \cdots , 7 )$ 的不同值的个数为（ ）

【2014年上海，文18，5分】已知 $P _ { 1 } ( a _ { 1 } , b _ { 1 } ) P _ { 2 } ( a _ { 2 } , b _ { 2 } )$ 是直线 $y = k x + 1 ( k$ 为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组 $\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { a _ { 1 } x + b _ { 1 } y = 1 } \\ { a _ { 2 } x + b _ { 2 } y = 1 } \end{array} \right. } \end{array}$ 的解的情况是（ ）（A）无论 $k , \ P _ { 1 } , \ P _ { 2 }$ 如何，总是有解 （B）无论k、 $P _ { 1 } , \ P _ { 2 }$ 如何，总有唯一解（C）存在 $k , \ P _ { 1 } , \ P _ { 2 }$ ，使之恰有两解 （D）存在k、 $P _ { 1 } , \ P _ { 2 }$ ，使之有无穷多解

【2014年上海，文23，18分】已知数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 满足 $\frac { 1 } { 3 } a _ { n } \leq a _ { n + 1 } \leq 3 a _ { n } , n \in \mathbf { N } ^ { * } , a _ { 1 } = 1$

（1）若 $a _ { 2 } = 2 , a _ { 3 } = x , a _ { 4 } = 9$ ，求x的取值范围；

（2）若 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 是等比数列，且 $a _ { { } _ { m } } = { \frac { 1 } { 1 0 0 0 } }$ ，求正整数m的最小值，以及m取最小值时相应 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的公比；

（3）若 $a _ { 1 } , a _ { 2 } , \cdots a _ { 1 0 0 }$ 成等差数列，求数列 $a _ { 1 } , a _ { 2 } , \cdots a _ { 1 0 0 }$ 的公差的取值范围