设集合 $S=\{x \mid x \geq 2\}, T=\{x \mid x \leq 5\}$ ，则 $S \cap T=()$
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D
Did you get it?
2014 浙江卷 · 文 数学
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Questions
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设四边形 ABCD 的两条对角线 $\mathrm{AC}, \mathrm{BD}$ ，则＂四边形 ABCD 为菱形＂是＂ $\mathrm{AC} \perp \mathrm{BD}$＂的（）
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A
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某几何体的三视图（单位： cm ）如图所示，则该几何体的的体积是（）
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B
Did you get it?
为了得到函数 $y=\sin 3 x+\cos 3 x$ 的图象，可以将函数 $y=\sqrt{2} \cos 3 x$ 的图像（ ）
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A
Did you get it?
已知圆 $x^{2}+y^{2}+2 x-2 y+a=0$ 截直线 $x+y+2=0$ 所得弦的长度为 4 ，则实数 $a$ 的值是
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B
Did you get it?
设 $m, n$ 是两条不同的直线，$\alpha, \beta$ 是两个不同的平面（ ）
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C
Did you get it?
已知函数 $f(x)=x^{3}+a x^{2}+b x+c$ ，且 $0 \leq f(-1)=f(-2)=f(-3) \leq 3$ ，则（ ）
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C
Did you get it?
在同一直角坐标系中，函数 $f(x)=x^{a} \quad(x>0), \quad g(x)=\log _{a} x$ 的图象可能是（ ）
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D
Did you get it?
设 $\theta$ 为两个非零向量 $\vec{a}$，$\vec{b}$ 的夹角，已知对任意实数 $t$，$|\vec{b}+t\vec{a}|$ 是最小值为 1（ ）
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D
Did you get it?
如图，某人在垂直于水平地面 ABC 的墙面前的点 A 处进行射击训练，已知点 A 到墙面的距离为 AB ，某目标点 P 沿墙面的射击线 CM 移动，此人为了准确瞄准目标点 P ，需计算由点 A 观察点 P 的仰角 $\theta$ 的大小（仰角 $\theta$ 为直线 AP 与平面 ABC 所成角）。若 $A B=15 m, A C=25 m, \angle B C M=30^{\circ}$ 则 $\tan \theta$ 的最大值
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C
Did you get it?
已知 $i$ 是虚数单位，计算 $\frac{1-i}{(1+i)^{2}}=$ $\_\_\_\_$ ；
先写答案，再对照解析等价写法不自动判错
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$-\frac{1}{2}-\frac{1}{2} i$
Did you get it?
若某程序框图如图所示，当输入 50 时，则该程序运行后输出的结果是 $\_\_\_\_$ ；
先写答案，再对照解析等价写法不自动判错
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6
Did you get it?
在 3 张奖券中有一、二等奖各 1 张，另 1 张无奖，甲、乙两人各抽取 1 张，两人都中奖的概率是 $\_\_\_\_$ ；
先写答案，再对照解析等价写法不自动判错
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$\frac{1}{3}$
Did you get it?
设函数
222 2, 0( ), 0x x xf xx xì+ + £ï=í- ïî
，若 ( ( )) $2f f a=$，则a＝_________；
考点：函数及其表示考法：分类讨论易错：定义域忽略
先写答案，再对照解析等价写法不自动判错
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4
Did you get it?
这题的学习线索
已知实数 $a, b, c$ 满足 $a+b+c=0, a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$ ，则 $a$ 的最大值是 $\_\_\_\_$ ；
先写答案，再对照解析等价写法不自动判错
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$\frac{2 \sqrt{3}}{3}$
Did you get it?
设直线 $x-3 y+m=0(m \neq 0)$ 与双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的两条渐近线分别交于点 $\mathrm{A} , \mathrm{~B}$ ，若点 $P(m, 0)$ 满足 $|P A|=|P B|$ ，则该双曲线的离心率是 $\_\_\_\_$ ．
先写答案，再对照解析等价写法不自动判错
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$\frac{\sqrt{5}}{2}$
Did you get it?
（本题满分 14 分）
在 $\triangle A B C$ 中，内角 $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，已知
$4 \sin ^{2} \frac{A-B}{2}+4 \sin A \sin B=2+\sqrt{2}$
（1）求角 C 的大小；（2）已知 $b=4, \triangle A B C$ 的面积为 6 ，求边长 $c$ 的值。
18．考点与思路：考点是三角变换与解三角形问题．解决问题的关键是熟练运用三角变换的常用技巧，如降幂公式，和差公式以及正余弦定理等．
Answer key
（I）$\because 4 \sin ^{2} \frac{A-B}{2}+4 \sin A \sin B=2+\sqrt{2}$ $\therefore 4 \times \frac{1-\cos (A-B)}{2}+4 \sin A \sin B=2+\sqrt{2}$ $\therefore 2[1-\cos (A-B)]+4 \sin A \sin B=2+\sqrt{2}$ $\therefore 4 \sin A \sin B=\sqrt{2}+2 \cos (A-B)$ $\therefore 4 \sin A \sin B=\sqrt{2}+2 \cos (A-B)=\sqrt{2}+2 \cos A \cos B+2 \sin A \sin B$ $\therefore \cos A \cos B-\sin A \sin B=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\therefore \cos (A+B)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\therefore \cos C=\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\therefore C=\frac{\pi}{4}$ ． （II）$\because S=\frac{1}{2} a b \sin C, \quad \therefore 6=\frac{1}{2} \times a \times 4 \times \sin \frac{\pi}{4}, \quad \therefore a=3 \sqrt{2}$ ， $\therefore c=\sqrt{a^{2}+b^{2}-2 a b \cos C}=\sqrt{(3 \sqrt{2})^{2}+4^{2}-2 \times 3 \sqrt{2} \times 4 \times \frac{\sqrt{2}}{2}}=\sqrt{10}$ ．
Did you get it?
（本题满分 14 分）
已知等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公差 $d>0$ ，设 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}, a_{1}=1, S_{2} \cdot S_{3}=36$
（1）求 $d$ 及 $S_{n}$ ；
（2）求 $m, k\left(m, k \in N^{*}\right)$ 的值，使得 $a_{m}+a_{m+1}+a_{m+2}+\cdots+a_{m+k}=65$
19．考点与思路：考点是等差数列及其前 $n$ 项和问题．解决问题的关键是熟练运用等差数列的通项公式及其前 n 项和公式以及一定的运算能力等
Answer key
（I）$\because a_{1}=1, S_{2} \cdot S_{3}=36$ ， $\therefore\left(2 \times 1+\frac{2 \times 1}{2} \times d\right)\left(3 \times 1+\frac{3 \times 2}{2} \times d\right)=36$ ， $\therefore(d+5)(d-2)=0$ ，而 $d>0, \therefore d=2$ ， $\therefore S_{n}=n a_{1}+\frac{n(n-1)}{2} d=n+\frac{n(n-1)}{2} \times 2=n^{2}$ ． （II）由 $a_{m}+a_{m+1}+a_{m+2}+\ldots+a_{m+k}=65$ ，得 $S_{m+k}-S_{m-1}=65$ ， $\therefore(m+k)^{2}-(m-1)^{2}=65$ ， $\therefore(2 m+k-1)(k+1)=65=5 \times 13$ ， $\therefore k+1=5$ ，且 $2 m+k-1=13$ ， $\therefore k=4, m=5$ ．
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（本题满分 15 分）
如图，在四棱锥 $\mathrm{A}-\mathrm{BCDE}$ 中，平面 $A B C \perp$ 平面 $B C D E ; \angle C D E=\angle B E D=90^{\circ}$ ， $A B=C D=2, D E=B E=1, A C=\sqrt{2}$ 。
（1）证明：$A C \perp$ 平面 $B C D E$ ；
（2）求直线 $A E$ 与平面 ABC 所成的角的正切值。
Answer key
（I）证明：过 $B$ 作 $B F \perp C D$ 于 $F$ ，则 $C F=B F=1$ ， $$ \begin{aligned} & \therefore B C=\sqrt{2}, \text { 又 } A C=\sqrt{2}, A B=2, \\ & \therefore A C^{2}+B C^{2}=A B^{2}, \end{aligned} $$ $\therefore A C \perp B C$ ，而平面 $A B C \perp$ 平面 $B C D E$ ， $\therefore A C \perp$ 平面 $B C D E$ ； （II）延长 $C B, D E$ 交于 $M$ ，过 $E$ 作 $E N \perp C M$ 于 $N$ ． 而 $A C \perp E N, \therefore E N \perp$ 平面 $A B C$ ， $\therefore \angle E A N$ 为直线 $A E$ 与平面 $A B C$ 所成角，记为 $\alpha$ ， 则在直角三角形 $A E N$ 中， $$ \tan \alpha=\frac{E N}{A N}=\frac{E N}{\sqrt{A C^{2}+C N^{2}}}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{2+\frac{9}{2}}}=\frac{\sqrt{13}}{13} $$
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（本题满分 15 分）
已知函数 $f(x)=x^{3}+3|x-a|(a>0)$ ，若 $f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上的最小值记为 $g(a)$ 。
（1）求 $g(a)$ ；
（2）证明：当 $x \in[-1,1]$ 时，恒有 $f(x) \leq g(a)+4$
21．考点与思路：考点是运用导数求函数的最值问题．解决问题的关键是合理的分类讨论．
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本卷概览这张卷怎么考查看完整卷面分析
难度结构
中档题为主
重点考点
函数及其表示
高频考法
分类讨论
题型结构
单选 9 · 填空 6 · 解答 5
难度分布
中档 20
课本覆盖
人教A版·必修第一册 1
重点 / 易错题
15 · 易错
常用解题方法分类讨论
涉及考点
函数及其表示1
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