2014 地方卷 · 文 数学

设命题 $p: \forall x \in R, x^{2}+1>0$ ，则 $\neg p$ 为

已知集合 { | $2}, { |1 3}A x x B x x= > =$ < <，则 A B=I
.{ | 2}A x x> .{ | 1 }B x x> .{ | 2 3}C x x< < .{ |1 3}D x x< <

对一个容量为 $N$ 的总体抽取容量为 $n$ 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为 $p_1, p_2, p_3$，则（ ）

下列函数中，既是偶函数又在区间 $(-\infty, 0)$ 上单调递增的是

在区间 $[-2,3]$ 上随机选取一个数 $X$，则 $X \leq 1$ 的概率为：

执行如图 1 所示的程序框图，如果输入的 $t \in[-2,2]$ ，则输出的 $S$ 属于（ ）

一块石材表示的几何体的三视图如图 2 所示，将石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于

若 $0<x_{1}<x_{2}<1$，则

在平面直角坐标系中，$O$ 为原点，$A(-1,0), B(0, \sqrt{3}), C(3,0)$，动点 $D$ 满足 $|\overrightarrow{C D}|=1$，则 $|\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O D}|$ 的取值范围是

复数 $\frac{3+i}{i^{2}}$（ $i$ 为虚数单位）的实部等于 $\_\_\_\_$ ．

在平面直角坐标系中，曲线 $C:\left\{\begin{array}{l}x=2+\frac{\sqrt{2}}{2} t \\ y=1+\frac{\sqrt{2}}{2} t\end{array}\right.$（ $t$ 为参数）的普通方程为 $\_\_\_\_$

若变量 $x, y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{c}y \leq x \\ x+y \leq 4 \\ y \geq 1\end{array}\right.$ 则 $z=2 x+y$ 的最大值为 $\_\_\_\_$．

平面上以机器人在行进中始终保持与点 $F(1,0)$ 的距离和到直线 $x=-1$ 的距离相等．若机器人接触不到过点 $P(-1,0)$ 且斜率为 $k$ 的直线，则 $k$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$．

若 $f(x)=\ln \left(e^{3 x}+1\right)+a x$ 是偶函数，则 $a=$ $\_\_\_\_$．

（本小题满分 12 分）已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}=\frac{n^{2}+n}{2}, n \in N^{*} \quad$．
（1）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
②设 $b_{n}=2^{a_{n}}+(-1)^{n} a_{n}$，求数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $2 n$ 项和．

（本小题满分 12 分）某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：
$(a, b),(a, \vec{b}),(a, b),(\vec{a}, b),(\vec{a}, \vec{b}),(a, b),(a, b),(a, \vec{b})$,
$(\vec{a}, b),(a, \vec{b}),(\vec{a}, \vec{b}),(a, b),(a, \vec{b}),(\vec{a}, b),(a, b)$

其中 $a, \vec{a}$ 分别表示甲组研发成功和失败；$b, \vec{b}$ 分别表示乙组研发成功和失败。
（1）若某组成功研发一种新产品，则给改组记 1 分，否记 0 分，试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；
（2）若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品，试估算恰有一组研发成功的概率．

（本小题满分 13 分）如图 4，在平面四边形 $A B C D$ 中，
$D A \perp A B, D E=1, E C=\sqrt{7}, E A=2, \angle A D C=\frac{2 \pi}{3}, \angle B E C=\frac{\pi}{3}$
（1）求 $\sin \angle C E D$ 的值；
（2）求 $B E$ 的长

图4

（本小题满分 13 分）如图 5，$O$ 为坐标原点，双曲线 $C_{1}: \frac{x^{2}}{a_{1}^{2}}-\frac{y^{2}}{b_{1}^{2}}=1\left(a_{1}>0, b_{1}>0\right)$ 和椭圆 $C_{2}: \frac{x^{2}}{a_{2}{ }^{2}}+\frac{y^{2}}{b_{2}{ }^{2}}=1\left(a_{2}>b_{2}>0\right)$ 均过点 $P\left(\frac{2 \sqrt{3}}{3}, 1\right)$ ，且以 $C_{1}$ 的两个顶点和 $C_{2}$ 的两个焦点为顶点的四边形是面积为 2 的正方形。
（1）求 $C_{1}, C_{2}$ 的方程；
（2）是否存在直线 $l$ ，使得 $l$ 与 $C_{1}$ 交于 $A, B$ 两点，与 $C_{2}$ 只有一个公共点，且 $|\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}|=|\overrightarrow{A B}|$ ？证明你的结论．

－图 5

（本小题满分13分）已知函数 $f(x)=x\cos x-\sin x+1(x>0)$．
（1）求 $f(x)$ 的单调区间；
（2）记 $x_i$ 为 $f(x)$ 的从小到大的第 $i(i\in N^*)$ 个零点，证明：对一切 $n\in N^*$，有 $\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}+\cdots+\frac{1}{x_n^2}<\frac{2}{3}$．