2014 新课标 II 卷 数学

（5分）已知集合 $\cdot { \sf A } = \left\{ \mathrm { ~ - ~ } 2 , \mathrm { ~ } 0 , \mathrm { ~ } 2 \right\}$ ${ \mathsf { B } } = \{ \mathbf { x } | \mathbf { x } ^ { 2 } - \mathbf { x } - 2 { = } 0 \}$ ，则A∩B=（　　）

（5分） ${ \frac { 1 + 3 \mathbf { i } } { 1 - \mathbf { i } } } =$ （　　）

（5分）设向量 ${ \bf \vec { \tau } } _ { \perp } ^ { + } ,$ ， 满足 $\vert \overrightarrow { \sf { a } } + \overrightarrow { \sf { b } } \vert = \sqrt { 1 0 } , \vert \overrightarrow { \sf { a } } - \overrightarrow { \sf { b } } \vert = \sqrt { 6 }$ ，则 $\overrightarrow { a } \cdot \overrightarrow { b } =$ （ ）

（5分）等差数列 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 的公差为2，若 $\mathtt { a } _ { 2 }$ ， $\mathtt { a } _ { 4 }$ ， $\mathsf { a } _ { 8 } ,$ 成等比数列，则 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 的前n项 和 $\mid S _ { \mathsf { n } } =$ （　　） A．n（n+1） B．n（n﹣1） C $\textstyle { \frac { \mathtt { n } ( \mathtt { n } + 1 ) } { 2 } }$ D $\textstyle { \frac { \ n ( { \mathrm { n - 1 } } ) } { 2 } }$

（5分）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（　　）

A $\frac { 1 7 } { 2 7 }$ B $\frac { 5 } { 9 }$ C $\frac { 1 0 } { 2 7 }$ D $\frac 1 3$

（5分）正三棱柱 $\mathsf { A B C } - \mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { B } _ { 1 } \mathsf { C } _ { 1 }$ 的底面边长为2，侧棱长为 ${ \sqrt { 3 } } ,$ ，D为BC中点， 则三棱锥 $\mathsf { A } - \mathsf { B } _ { 1 } \mathsf { D } \mathsf { C } _ { 1 }$ 的体积为（　　） A．3 B $\frac { 3 } { 2 }$ C．1 D $\frac { \sqrt { 3 } } { 2 }$

（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x，t均为2，则输出的$S=$（）

（5分）设x，y满足约束条件 $\left\{ \begin{array} { l l } { \mathbf { x } + \mathbf { y } - 1 \geqslant 0 } \\ { \mathbf { x } - \mathbf { y } - 1 \leqslant 0 } \\ { \mathbf { x } - 3 \mathbf { y } + 3 \geqslant 0 } \end{array} \right.$ ，则 $z = x + 2 y$ 的最大值为（　　）

（5分）设F为抛物线C： $y ^ { 2 } = 3 x$ 的焦点，过F且倾斜角为 $3 0 ^ { \circ }$ 的直线交于C于A，B两点，则 $\left| \mathsf { A B } \right| =$ （ ）A $\frac { \sqrt { 3 0 } } { 3 }$ B．6 C．12 D $7 \sqrt { 3 }$

（5分）设点 $\textsf { M } \left( \mathbf { \lambda } \mathbf { x } _ { 0 } , \mathbf { \lambda } 1 \right)$ ，若在圆O： $\mathsf { x } ^ { 2 } + \mathsf { y } ^ { 2 } = 1$ 上存在点N，使得 $\angle O M N = 4 5 ^ { \circ }$ ，则 $\lvert \mathbf { x } _ { 0 }$ 的取值范围是（ ）A $[ \mathbf { \nabla } - \mathbf { 1 } , \mathbf { \nabla } \mathbf { 1 } ]$ B $[ - \frac { 1 } { 2 } , \frac { 1 } { 2 } ]$ C $[ \mathbf { \nabla } - \sqrt { 2 } , \mathbf { \nabla } \sqrt { 2 } ]$ D $[ - { \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } } , { \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } } ]$

（5分）甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为$\underline{\dfrac{1}{3}}$．

（5分）函数f $( x ) = \sin ( x + \phi ) - 2 \sin \phi \cos x$ 的最大值为　1

（5分）偶函数$y=f(x)$的图象关于直线$x=2$对称，$f(3)=3$，则$f(-1)=$____．

（12分）四边形ABCD的内角A与C互补，AB=1，BC=3， $C D = D A = 2$

（1）求C和BD；

（2）求四边形ABCD的面积

（12分）如图，四棱锥 $\mathsf { P } - \mathsf { A B C D }$ 中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点

（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；

（Ⅱ）设AP=1， ${ \mathsf { A D } } { = } { \sqrt { 3 } } ,$ ，三棱锥P﹣ABD的体积 $v = \frac { \sqrt { 3 } } { 4 }$ ，求A到平面PBC的距离

（12分）设F₁，F₂分别是C： $\frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a > b > 0 )$ 的左，右焦点，M是C上一点且 ${ \sf M F } _ { 2 }$ 与x轴垂直，直线 ${ \mathsf { M } } { \mathsf { F } } _ { 1 }$ 与C的另一个交点为N

（1）若直线MN的斜率为 $\frac { 3 } { 4 }$ ，求C的离心率；

（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且 $\left| \mathsf { M N } \right| { = } 5 \left| \mathsf { F } _ { 1 } \mathsf { N } \right|$ ，求a，b

（10分）如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交

于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：

（Ⅰ） $B E = E C$ ；

（Ⅱ） $\mathsf { A D } \bullet \mathsf { D } \mathsf { E } = 2 \mathsf { P B } ^ { 2 }$