2019 北京卷 数学

（5分）已知集合 $A = \{ x | - 1 < x < 2 \}$ $B { = } \{ x | x { > } 1 \}$ ，则A∪B＝（　　）

（5分）已知复数z＝2+i，则 $z \bullet _ { z } ^ { - } =$ （　　）A $\sqrt { 3 }$ B $\sqrt { 5 }$ C．3 D．5

（5 分）下列函数中，在区间 $(0,+\infty)$ 上单调递增的是（　　）

（5分）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（　　）

（5分）已知双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2}-y^2=1\ (a>0)$ 的离心率是 $\sqrt{5}$，则 $a=$（　　）

设函数$f(x)=\cos x+b\sin x$（$b$为常数），则“$b=0$”是“$f(x)$为偶函数”的（　　）

（5分）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足 $m _ { 2 } - m _ { 1 } { = } \frac { 5 } { 2 } l g \frac { \bar { \mathtt { E } } _ { 1 } } { \bar { \mathtt { E } } _ { 2 } } ,$ ，其中星等为 $m _ { k }$ 的星的亮度为 $E _ { k } \ ( k { = } 1 , \ 2 )$ ）．已知太阳的星等是﹣26.7，天狼星的星等是﹣1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（　　）A $1 0 ^ { 1 0 . 1 }$ B．10.1 C $l g 1 0 . 1$ D． $1 0 ^ { - 1 0 . 1 }$

（5 分）如图，A，B 是半径为 2 的圆周上的定点，P为圆周上的动点， $\angle A P B$ 是锐角，大小为β，图中阴影区域的面积的最大值为（　　）

A $4 \beta + 4 \mathrm { c o s } \beta$ B．4β+4sinβ C $2 \beta + 2 \mathrm { c o s } \beta$ D $2 \beta + 2 \sin \beta$

（5分）已知向量 $\vec{a}=(-4,3)$，$\vec{b}=(6,m)$，且 $\vec{a}\perp\vec{b}$，则 $m=$____．

（5分）若 $x$，$y$ 满足 $\begin{cases} x\leqslant2,\\ y\geqslant-1,\\ 4x-3y+1\geqslant0, \end{cases}$ 则 $y-x$ 的最小值为____，最大值为____．

（5分）设抛物线 $\scriptstyle { y ^ { 2 } = { 4 x } }$ 的焦点为F，准线为l，则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为 $( x - 1 ) \ ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 4$

（5 分）某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为　40

（5分）已知l，m是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：

①l⊥m；②m∥α；③l⊥α

以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：　若l⊥α，l⊥m，则m∥α

（13分）设 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 是等差数列， $a _ { 1 } = - 1 0$ ，且 $a _ { 2 } + 1 0 , a _ { 3 } + 8 , a _ { 4 } + 6$ 成等比数列

（Ⅰ）求 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的通项公式；

（Ⅱ）记 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的前n项和为 $S _ { n } ,$ ，求 $S _ { n }$ 的最小值

（12分）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的 1000 名学生中随机抽取了 100 人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有 5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：

<table><tr><td colspan="1" rowspan="1">支付金额支付方式</td><td colspan="1" rowspan="1">不大于2000元</td><td colspan="1" rowspan="1">大于2000元</td></tr><tr><td colspan="1" rowspan="1">仅使用A</td><td colspan="1" rowspan="1">27人</td><td colspan="1" rowspan="1">3人</td></tr><tr><td>仅使用B</td><td>24人</td><td>1人</td></tr></table>

（Ⅰ）估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数；

（Ⅱ）从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2000元的概率；

（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用 B 的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2000元．结合（Ⅱ）的结果，能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由

（14分）如图，在四棱锥 $P \mathrm { ~ - ~ } A B C D$ 中， $P A \bot$ 平面 ABCD，底面 ABCD 为菱形，E 为 CD的中点

（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；

（Ⅱ）若 $\angle A B C = 6 0 ^ { \circ }$ ，求证：平面PAB⊥平面PAE；

（Ⅲ）棱PB 上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？说明理由

（14 分）已知椭圆 $C$: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 的右焦点为 $(1,\ 0)$，且经过点 $A\ (0,\ 1)$．
（Ⅰ）求椭圆 $C$ 的方程；
（Ⅱ）设 $O$ 为原点，直线 $l$: $y=kx+t$ ($t\neq\pm1$) 与椭圆 $C$ 交于两个不同点 $P$、$Q$，直线 $AP$ 与 $x$ 轴交于点 $M$，直线 $AQ$ 与 $x$ 轴交于点 $N$．若 $|OM|\cdot|ON|=2$，求证：直线 $l$ 经过定点．

（14分）已知函数 $f \left( x \right) = \frac { 1 } { 4 } x ^ { 3 } - x ^ { 2 } + x$

（Ⅰ）求曲线 $y { = } f \left( x \right)$ 的斜率为1的切线方程；

（Ⅱ）当x∈[﹣2，4]时，求证： $x - 6 { \leqslant } f \left( x \right) \ { \leqslant } x ;$

（Ⅲ）设 $F \ ( x ) \ = \mid f \ ( x ) { } \ - { } \ ( x { + } a ) \ \mid \ ( a { \in } \mathbf { R } )$ ），记 $F \left( x \right)$ 在区间[﹣2，4]上的最大值为M

（a）．当M（a）最小时，求a的值