空间直角坐标系　·　历年高考数学真题与解析

19.

已知直三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面 $A A_{1} B_{1} B$ 为正方形，$A B=B C=2, E, F$ 分别为 $A C$ 和 $C C_{1}$ 的中点 ，$D$ 为棱 $A_{1} B_{1}$ 上的点．$B F \perp A_{1} B_{1}$

（1）证明：$B F \perp D E$ ；
（2）当 $B_{1} D$ 为何值时，面 $B B_{1} C_{1} C$ 与面 $D F E$ 所成的二面角的正弦值最小？

20．如图，四棱锥 $P-A B C D$ 的底面为正方形，$P D \perp$ 底面 $A B C D$ ．设平面 $P A D$ 与平面 $P B C$ 的交线为 $l$ ．

（1）证明：$l \perp$ 平面 $P D C$ ；
（2）已知 $P D=A D=1, Q$ 为 $l$ 上的点，求 $P B$ 与平面 $Q C D$ 所成角的正弦值的最大值．

9．（5分）在长方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，$A B=B C=1, A A_{1}=\sqrt{3}$ ，则异面直线 $A D_{1}$与 $\mathrm{DB}_{1}$ 所成角的余弦值为（ ）

9．（5分）在正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，$E$ 为棱 $C C_{1}$ 的中点，则异面直线 $A E$ 与 $C D$所成角的正切值为（ ）

16．（5分）$a, b$ 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形 $A B C$ 的直角边 $A C$ 所在直线与 $a, b$ 都垂直，斜边 $A B$ 以直线 $A C$ 为旋转轴旋转，有下列结论：
①当直线 AB 与 a 成 $60^{\circ}$ 角时， AB 与 b 成 $30^{\circ}$ 角；
②当直线 AB 与 a 成 $60^{\circ}$ 角时， AB 与 b 成 $60^{\circ}$ 角；
③直线 AB 与 a 所成角的最小值为 $45^{\circ}$ ；
④直线 AB 与 a 所成角的最小值为 $60^{\circ}$ ；
其中正确的是 $\_\_\_\_$ ②③ ．（填写所有正确结论的编号）

9．（5 分）如图，已知正四面体 $\mathrm{D}-\mathrm{ABC}$（所有棱长均相等的三棱锥）， $\mathrm{P} , \mathrm{Q} , \mathrm{R}$分别为 $A B , B C , C A$ 上的点，$A P=P B, \frac{B Q}{Q C}=\frac{C R}{R A}=2$ ，分别记二面角 $D-P R-Q$ ， $\mathrm{D}-\mathrm{PQ}-\mathrm{R}, \mathrm{D}-\mathrm{QR}-\mathrm{P}$ 的平面角为 $\alpha, \beta, \gamma$ ，则（）

18．三棱锥 $A-B C D$ 及其侧视图、俯视图如图所示．设 $M, N$ 分别为线段 $A D, A B$ 的中点，$P$ 为线段 $B C$上的点，且 $M N \perp N P$ ．
（1）证明：$P$ 为线段 $B C$ 的中点；
（2）求二面角 $A-N P-M$ 的余弦值．

侧视图

俯视图

19．（本小题满分 13 分，（I）小问 6 分，（II）小问 7 分）
如题（19）图，四棱锥 $P-A B C D$ 中，底面是以 $O$ 为中心的菱形，$P O \perp$ 底面 $A B C D$， $A B=2, \angle B A D=\frac{\pi}{3}, M$ 为 $B C$ 上一点，且 $B M=\frac{1}{2}, M P \perp A P$．
（I）求 $P O$ 的长；
（II）求二面角 $A-P M-C$ 的正弦值．

题（19）图

7．（5 分）在空间直角坐标系 Oxyz 中，已知 $A(2,0,0), B(2,2,0), C (0,2,0), D(1,1, \sqrt{2})$ ，若 $S_{1}, S_{2}, S_{3}$ 分别表示三棱锥 D－ABC 在 $x O y$ ， $\mathrm{yOz}, ~ \mathrm{zOx}$ 坐标平面上的正投影图形的面积，则（）