2012_浙江卷 (2012·理)
21．（本题满分 15 分）如图，椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，其左焦点到点 $P(2,1)$ 的距离为 $\sqrt{10}$ ，不过原点 $O$ 的直线 $l$ 与 $C$ 相交于 $A, B$ 两点，且线段 $A B$ 被直线 $O P$ 平分．
（I）求椭圆 $C$ 的方程；
（II）求 $\triangle A B P$ 面积取最大值时直线 $l$ 的方程．
（第21题图）
本题主要考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解体能力。满分 $\mathbf{1 5}$ 分。 （I）设椭圆左焦点为 $F(-c, 0)$ ，则由题意得
【答案】本题主要考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解体能力。满分 $\mathbf{1 5}$ 分。
（I）设椭圆左焦点为 $F(-c, 0)$ ，则由题意得
$$ \left\{\begin{array}{l} \sqrt{(2+c)+1}=\sqrt{10} \\ \frac{c}{a}=\frac{1}{2} \end{array}\right. $$
得 $\left\{\begin{array}{l}c=1 \\ a=2\end{array}\right.$
所以椭圆方程为
$$ \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1 $$
（II）设 $A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right)$ ，线段 $A B$ 的中点为 $M$ ．
当直线 $A B$ 与 $x$ 轴垂直时，直线 $A B$ 的方程为 $x=0$ ，与不过原点的条件不符，舍去．故可设直线 $A B$ 的方程为
$y=k x+m(m \neq 0)$,
由 $\left\{\begin{array}{l}y=k x+m \\ 3 x^{2}+4 y^{2}=12\end{array}\right.$ 消去 $y$ ，整理得
$\left(3+4 k^{2}\right) x^{2}+8 k m x+4 m^{2}-12=0$,
则
$\Delta=64 k^{2} m^{2}-4\left(3+4 k^{2}\right)\left(4 m^{2}-12\right)>0,\left\{\begin{array}{l}x_{1}+x_{2}=-\frac{8 k m}{3+4 k^{2}} \\ x_{1} x_{2}=\frac{4 m^{2}-12}{3+4 k^{2}}\end{array}\right.$
所以 $A B$ 线段的中点 $M\left(-\frac{8 k m}{3+4 k^{2}}, \frac{4 m^{2}-12}{3+4 k^{2}}\right)$ ，
因为 $M$ 在直线 $O P$ 上，所以
$\frac{3 m}{3+4 k^{2}}=\frac{-2 k m}{3+4 k^{2}}$,
得
$m=0$（舍去）或 $k=-\frac{3}{2}$ ，
此时方程（1）为 $3 x^{2}-3 m x+m^{2}=0$ ，则
$\Delta=3\left(12-m^{2}\right)>0,\left\{\begin{array}{l}x_{1}+x_{2}=m \\ x_{1} x_{2}=\frac{m^{2}-3}{3}\end{array}\right.$
所以
$|A B|=\sqrt{1+k^{2}} \cdot\left|x_{1}-x_{2}\right|=\frac{\sqrt{39}}{6} \cdot \sqrt{12-m^{2}}$,
设点 $P$ 到直线 $A B$ 距离为 $d$ ，则
$d=\frac{|8-2 m|}{\sqrt{3^{2}+2^{2}}}=\frac{2|m-4|}{\sqrt{13}}$,
设 $\triangle A B P$ 的面积为 $S$ ，则
$S=\frac{1}{2}|A B| \cdot d=\frac{\sqrt{3}}{6} \cdot \sqrt{(m-4)^{2}\left(12-m^{2}\right)}$,
其中 $m \in(-2 \sqrt{3}, 0) \cup(0,2 \sqrt{3})$ ，
令 $u(m)=\left(12-m^{2}\right)(m-4)^{2}, m \in[-2 \sqrt{3}, 2 \sqrt{3}]$
$u^{\prime}(m)=-4(m-4)\left(m^{2}-2 m-6\right)=-4(m-4)(m-1-\sqrt{7})(m-1+\sqrt{7})$,
所以当且仅当 $m=1-\sqrt{7}, u(m)$ 取到最大值，
故当且仅当 $m=1-\sqrt{7}, ~ S$ 取到最大值．
综上，所求直线 $l$ 方程为 $3 x+2 y+2 \sqrt{7}-2=0$ ．