含参讨论　·　历年高考数学真题与解析

21．已知函数 $f(x)=(1-a x) \ln (1+x)-x$ ．
①当 $a=-2$ 时，求 $f(x)$ 的极值；
②当 $x \geq 0$ 时，$f(x) \geq 0$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围．

22．已知函数 $f(x)=a \mathrm{e}^{x-1}-\ln x+\ln a$ ．
（1）当 $a=e$ 时，求曲线 $y=f(x)$ 在点（1，$f(1))$ 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若 $f(x) \geq 1$ ，求 $a$ 的取值范围．

## 答案解析：

21．（12分）已知函数 $f(x)=e^{x}\left(e^{x}-a\right)-a^{2} x$ ．
（1）讨论 $f(x)$ 的单调性；
（2）若 $f(x) \geq 0$ ，求 $a$ 的取值范围．

21．（本小题满分 14 分）
设函数 $f(x)=a x^{2}-a-\ln x$ ，其中 $a \in \mathbf{R}$ ．
（I）讨论 $f(x)$ 的单调性；
（II）确定 $a$ 的所有可能取值，使得 $f(x)>\frac{1}{x}-e^{1-x}$ 在区间 $(1,+\infty)$ 内恒成立 $(\mathrm{e}=2.718 \cdots$ 为自然对数的底数）．

21、（本小题满分 14 分）
设函数 $f(x)=a x^{2}-a-\ln x, g(x)=\frac{1}{x}-\frac{e}{e^{x}}$ ，其中 $q \in R, \mathrm{e}=2.718 \cdots$ 为自然对数的底数．
（I）讨论 $f(x)$ 的单调性；
（II）证明：当 $\mathrm{x}>1$ 时， $\mathrm{g}(\mathrm{x})>0$ ；
（III）确定 $a$ 的所有可能取值，使得 $f(x)>g(x)$ 在区间 $(1,+\infty)$ 内恒成立．

22．（本小题满分 14 分）
已知函数 $f(x)=\ln x-\frac{(x-1)^{2}}{2}$ ．
（I）求函数 $f(x)$ 的单调递增区间；
（II）证明：当 $x>1$ 时，$f(x)（III）确定实数 $k$ 的所有可能取值，使得存在 $x_{0}>1$ ，当 $x \in\left(1, x_{0}\right)$ 时，恒有 $f(x)>k(x-1)$ ．

21．（12分）已知函数 $f(x)=e^{x}-e^{-x}-2 x$ ．
（I）讨论 $f$（ $x$ ）的单调性；
（II）设 $g(x)=f(2 x)-4 b f(x)$ ，当 $x>0$ 时，$g(x)>0$ ，求 $b$ 的最大值；
（III）已知 $1.4142<\sqrt{2}<1.4143$ ，估计 $\ln 2$ 的近似值（精确到 0.001 ）．

22．已知常数 $a>0$ ，函数 $f(x)=\ln (1+a x)-\frac{2 x}{x+2}$ ．
（1）讨论 $f(x)$ 在区间 $(0,+\infty)$ 上的单调性；
（2）若 $f(x)$ 存在两个极值点 $x_{1}, x_{2}$ ，且 $f\left(x_{1}\right)+f\left(x_{2}\right)>0$ ，求 $a$ 的取值范围．．

21．（本小题满分 14 分）已知函数 $f(x)=\left(a x^{2}+b x+c\right) e^{x}$ 在 $[0,1]$ 上单调递减，且满足
$f(0)=1, f(1)=0$（I）求 $a$ 的取值范围；（II）设 $g(x)=f(x)-f^{\prime}(x)$ ，求在 $[0,1]$ 上的最大值和最小值

19．（本小题满分 14 分）
设 $a>0$ ，讨论函数 $f(x)=\ln x+a(1-a) x^{2}-2(1-a) x$ 的单调性．

22．（本小题满分 13 分）
设函数 $f(x)=x-\frac{1}{x}-a \ln x(a \in R)$ ．
（I）讨论函数 $f(x)$ 的单调性．
（II）若 $f(x)$ 有两个极值点 $x_{1}, x_{2}$ ，记过点 $A\left(x_{1}, f\left(x_{1}\right)\right), B\left(x_{2}, f\left(x_{2}\right)\right)$ 的直线斜率为 $k$ ．问：是否存在 $a$ ，使得 $k=2-a$ ？若存在，求出 $a$ 的值；若不存在，请说明理由。

## 2011年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）

22、（2011 • 浙江）设函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=(\mathrm{x}-\mathrm{a})^{2} \ln \mathrm{x}, \mathrm{a} \in \mathrm{R}$
（I）若 $x=e$ 为 $y=f(x)$ 的极值点，求实数 $a$ ；
（II）求实数 a 的取值范围，使得对任意的 $\mathrm{x} \in(0,3 \mathrm{a}]$ ，恒有 $\mathrm{f}(\mathrm{x}) \leq 4 \mathrm{e}^{2}$ 成立．
注： e 为自然对数的底数．
考点：函数在某点取得极值的条件；导数在最大值、最小值问题中的应用。
专题：计算题。
分析：①利用极值点处的导数值为 0 ，求出导函数，将 $\mathrm{x}=\mathrm{e}$ 代入等于 0 ，求出 a ，再将 a 的值代入检验．
（II）对 a 分类讨论，求出 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的最大值，令最大值小于 $4 \mathrm{e}^{2}$ ，解不等式求出 a 的范围。

21．（本小题满分13分）
已知函数 $f(x)=\frac{a}{x}+x+(a-1) \ln x+15 a$ ，其中 $\mathrm{a}<0$ ，且 $\mathrm{a} \neq-1$ ．
（I）讨论函数 $f(x)$ 的单调性；
（II）设函数 $\boldsymbol{g}(\boldsymbol{X})=\left\{\begin{array}{l}\left(-2 x^{3}+3 a x^{3}+6 a x-4 a^{2}-6 a\right) e^{x}, x \leq 1 \\ e \cdot f(x), x>1\end{array} \quad(\mathrm{e}\right.$ 是自然数的底数）。

是否存在 a ，使 $g(x)$ 在 $[\mathrm{a},-$
a］上为减函数？若存在，求 a 的取值范围；若不存在，请说明理由。

## 2010年湖南省高考数学试卷（文科）

（20）（本小题满分12分）
已知函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=a x^{3}-\frac{3}{2} x^{2}+1(x \in R)$ ，其中 $\mathrm{a}>0$ ．
（I）若 $\mathrm{a}=1$ ，求曲线 $\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 在点（2， $\mathrm{f}(2))$ 处的切线方程；
（II）若在区间 $\left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right]$ 上， $\mathrm{f}(\mathrm{x})>0$ 恒成立，求 a 的取值范围．

（21）（本小题满分 12 分）
已知函数 $f(x)=x^{3}-3 a x^{2}-9 a^{2} x+a^{3}$ ．
①设 $a=1$ ，求函数 $f(x)$ 的极值；
（2）若 $a>\frac{1}{4}$ ，且当 $x \in[1,4 a]$ 时，$\left|f^{\prime}(x)\right| \leq 12 \mathrm{a}$ 恒成立，试确定 $a$ 的取值范围．

（21）（本小题满分 14 分）
已知函数 $f(x)=x^{4}+a x^{3}+2 x^{2}+b(x \in R)$ ，其中 $a, b \in R$ ．
（I）当 $a=-\frac{10}{3}$ 时，讨论函数 $f(x)$ 的单调性；
（II）若函数 $f(x)$ 仅在 $x=0$ 处有极值，求 $a$ 的取值范围；
（III）若对于任意的 $a \in[-2,2]$ ，不等式 $f(x) \leq 1$ 在 $[-1,1]$ 上恒成立，求 $b$ 的取值范围．