（12分）设函数 f(x)=x-x ln x ．数列 a_…——2008 高考数学第 22 题答案解析

【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；RG：数学归纳法．
【专题】16：压轴题．
【分析】①首先求出函数的导数，然后令 $f^{\prime}(x)=0$ ，解出函数的极值点，最后根据导数判断函数在区间（ 0,1 ）上的单调性，从而

进行证明．
②由题意数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $0③由题意 $f(x)=x-x \ln x, a_{n+1}=f\left(a_{n}\right)$ 可得 $a_{k+1}=a_{k}-b-a_{k}$ ，然后进行讨论求解．

【解答】解：（ I ）证明：$\because f(x)=x-x \ln x$ ，
$\therefore f^{\prime}(x)=-\ln x$ ，
当 $x \in(0,1)$ 时，$f^{\prime}(x)=-\ln x>0$
故函数 $f(x)$ 在区间 $(0,1)$ 上是增函数；
（II）证明：（用数学归纳法）
（i）当 $n=1$ 时 $, 0$a_{2}=f\left(a_{1}\right)=a_{1}-a_{1} \ln a_{1}>a_{1}$ ，
∵ 函数 $f(x)$ 在区间 $(0,1)$ 是增函数且函数 $f(x)$ 在 $x=1$ 处连续，
$\therefore f(x)$ 在区间 $(0,1]$ 是增函数，
$a_{2}=f\left(a_{1}\right)=a_{1}-a_{1} \ln a_{1}<1$ ，即 $a_{1}（ii ）假设当 $x=k ~\left(k \in N^{+}\right) ~$ 时，$a_{k}即 $0那么当 $n=k+1$ 时，由 $f(x)$ 在区间 $(0,1]$ 是增函数， $0得 $f\left(a_{k}\right)而 $a_{n+1}=f\left(a_{n}\right)$ ，
则 $a_{k+1}=f\left(a_{k}\right), a_{k+2}=f\left(a_{k+1}\right), a_{k+1}也就是说当 $n=k+1$ 时，$a_{n}根据（i ）、（ii）可得对任意的正整数 $n, a_{n}（III）证明：由 $f(x)=x-x \ln x, a_{n+1}=f\left(a_{n}\right)$ 可得
$a_{k+1}=a_{k}-a_{k} \ln a_{k}=a_{1}-b-\sum_{i=1}^{k} a_{i} \ln a_{i}$,

1）若存在某 $i \leq k$ ，满足 $a_{i} \leq b$ ，则由（II）知：$a_{k+1}-b>a_{i}-b \geq 0$ ，
2）若对任意 $i \leq k$ ，都有 $a_{i}>b$ ，则 $a_{k+1}=a_{k}-a_{k} \ln a_{k}=a_{1}-b-\sum_{i=1}^{k} a_{i} \ln a_{i}=$

$$ a_{1}-b-\sum_{i=1}^{k} a_{i} \ln b \geq a_{1}-b_{1}-k a_{1} \ln b=0 $$

即 $a_{\mathrm{k}+1}>\mathrm{b}$ 成立。
【点评】此题主要考查多项式函数的导数，函数单调性的判定，函数最值，函数、方程与不等式等基础知识及数学归纳法的应用，一般出题者喜欢考查学生的运算求解能力、推理论证能力及分析与解决问题的能力，要出学生会用数形结合的思想、分类与整合思想，化归与转化思想、有限与无限的思想来解决问题．