22．（12分）设函数 $f(x)=x-x \ln x$ ．数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $0<a_{1}<1, a_{n+1}=f\left(a_{n}\right)$ ．
（I）证明：函数 $f(x)$ 在区间 $(0,1)$ 是增函数；
（II）证明：$a_{n}<a_{n+1}<1$ ；
（III）设 $\mathrm{b} \in\left(\mathrm{a}_{1}, 1\right)$ ，整数 $\mathrm{k} \geqslant \frac{\mathrm{a}_{1}-\mathrm{b}}{\mathrm{a}_{1} \ln \mathrm{~b}}$ ．证明： $\mathrm{a}_{\mathrm{k}+1}>\mathrm{b}$ ．
参考答案
(1) 故函数 $f(x)$ 在区间 $(0,1)$ 上是增函数; (2) 根据（i ）、（ii）可得对任意的正整数 $n, a_{n}<a_{n+1}<1$ 恒成立; (3) 即 $a_{\mathrm{k}+1}>\mathrm{b}$ 成立