（12分）函数 f(x)=ln (x+1)- a x x+…——2014 高考数学第 22 题答案解析

【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；RG：数学归纳法．
【专题】53：导数的综合应用．
【分析】（ I ）求函数的导数，通过讨论 $a$ 的取值范围，即可得到 $f(x)$ 的单调性；
（II）利用数学归纳法即可证明不等式。
【解答】解：（I ）函数 $f(x)$ 的定义域为 $(-1,+\infty), f^{\prime}(x)= \frac{x\left[x-\left(a^{2}-2 a\right)\right]}{(x+1)(x+a)^{2}}$,
①当 $10$ ，此时函数 $f(x)$ 在（ $\left.1, a^{2}-2 a\right)$ 上是增函数，

若 $x \in\left(a^{2}-2 a, 0\right)$ ，则 $f^{\prime}(x)<0$ ，此时函数 $f(x)$ 在（ $a^{2}-2 a, 0$ ）上是减函数，

若 $x \in(0,+\infty)$ ，则 $f^{\prime}(x)>0$ ，此时函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上是增函数．
②当 $a=2$ 时，$f^{\prime}(x) \geq 0$ ，此时函数 $f(x)$ 在 $(-1,+\infty)$ 上是增函数，
③当 $a>2$ 时，若 $x \in(-1,0)$ ，则 $f^{\prime}(x)>0$ ，此时函数 $f(x)$ 在 $(-1,0)$上是增函数，

若 $x \in\left(0, a^{2}-2 a\right)$ ，则 $f^{\prime}(x)<0$ ，此时函数 $f(x)$ 在 $\left(0, a^{2}-2 a\right)$ 上是减函数，

若 $x \in\left(a^{2}-2 a,+\infty\right)$ ，则 $f^{\prime}(x)>0$ ，此时函数 $f(x)$ 在 $\left(a^{2}-2 a,+\infty\right)$ 上是增函数．

（II）由（I）知，当 $a=2$ 时，此时函数 $f(x)$ 在 $(-1,+\infty)$ 上是增函数，
当 $x \in(0,+\infty)$ 时，$f(x)>f(0)=0$ ，
即 $\ln (x+1)>\frac{2 x}{x+2},(x>0)$ ，
又由（I）知，当 $a=3$ 时，$f(x)$ 在 $(0,3)$ 上是减函数，
当 $x \in(0,3)$ 时，$f(x)下面用数学归纳法进行证明 $\frac{2}{n+2}①当 $n=1$ 时，由已知
$\frac{2}{3}<\mathrm{a}_{1}=1$ ，故结论成立．
②假设当 $\mathrm{n}=\mathrm{k}$ 时结论成立，即 $\frac{2}{\mathrm{k}+2}<\mathrm{a}_{\mathrm{k}} \leqslant \frac{3}{\mathrm{k}+2}$ ，
则当 $n=k+1$ 时,$a_{n+1}=\ln \left(a_{n}+1\right)>\ln \left(\frac{2}{k+2}+1\right)>\frac{2 \times \frac{2}{k+2}}{\frac{2}{k+2}+2}=\frac{2}{k+3}$ ，
$a_{k+1}=\ln \left(a_{k}+1\right)<\ln \left(\frac{3}{k+2}+1\right)<\frac{3 \times \frac{3}{k+2}}{\frac{3}{k+2}+3}=\frac{3}{k+3}$,
即当 $n=k+1$ 时，$\frac{2}{k+3}综上由①②可知，对任何 $\mathrm{n} \in \mathrm{N}$ •结论都成立。
【点评】本题主要考查函数单调性和导数之间的关系，以及利用数学归纳法证明不等式，综合性较强，难度较大。