（12分）已知函数 f ( x )= 1 3 x ^ 3…——2012 高考数学第 21 题答案解析

【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6C：函数在某点取得极值的条件．
【专题】11：计算题；16：压轴题；3：解题思想；32：分类讨论．
【分析】（1）先对函数进行求导，通过 a 的取值，求出函数的根，然后通过导

函数的值的符号，推出函数的单调性．
（2）根据导函数的根，判断 a 的范围，进而解出直线 $l$ 的方程，利用 I 与 x 轴的交点为（ $x_{0}, 0$ ），可解出 $a$ 的值．

【解答】解：（1）$f^{\prime}(x)=x^{2}+2 x+a=(x+1)^{2}+a-1$ ．
①当 $a \geq 1$ 时，$f^{\prime}(x) \geq 0$ ，
且仅当 $a=1, x=-1$ 时，$f^{\prime}(x)=0$ ，
所以 $f(x)$ 是 $R$ 上的增函数；
②当 $a<1$ 时，$f^{\prime}(x)=0$ ，有两个根，
$x_{1}=-1-\sqrt{1-a}, \quad x_{2}=-1+\sqrt{1-a}$,
当 $x \in(-\infty,-1-\sqrt{1-a})$ 时，$f^{\prime}(x)>0, f(x)$ 是增函数．
当 $x \in(-1-\sqrt{1-a},-1+\sqrt{1-a})$ 时，$f^{\prime}(x)<0, f(x)$ 是减函数。
当 $x \in(-1+\sqrt{1-a},+\infty)$ 时，$f^{\prime}(x)>0, f(x)$ 是增函数。
（2）由题意 $x_{1}, x_{2}$ ，是方程 $f^{\prime}(x)=0$ 的两个根，
故有 $\mathrm{a}<1, \mathrm{x}_{1}{ }^{2}=-2 \mathrm{x}_{1}-\mathrm{a}, \mathrm{x}_{2}{ }^{2}=-2 \mathrm{x}_{2}-\mathrm{a}$ ，
因此 $f\left(x_{1}\right)=\frac{1}{3} x_{1}{ }^{3}+x_{1}{ }^{2}+a x_{1}=\frac{1}{3} x_{1}\left(-2 x_{1}-a\right)+x_{1}{ }^{2}+a x_{1}$
$=\frac{1}{3} x_{1}{ }^{2}+\frac{2}{3} a x_{1}$
$=\frac{1}{3}\left(-2 x_{1}-a\right) \quad+\frac{2}{3} a x_{1}=\frac{2}{3}(a-1) \quad x_{1}-\frac{1}{3} a$,
同理 $f\left(x_{2}\right)=\frac{2}{3}(a-1) x_{2}-\frac{1}{3} a$ ．
因此直线 $l$ 的方程为：$y=\frac{2}{3}(a-1) x-\frac{1}{3} a$ ．
设 1 与 $x$ 轴的交点为 $\left(x_{0}, 0\right)$ 得 $x_{0}=\frac{a}{2(a-1)}$ ，
$f\left(x_{0}\right)=\frac{1}{3}\left[\frac{a}{2(a-1)}\right]^{3}+\left[\frac{a}{2(a-1)}\right]^{2}+\frac{a}{2(a-1)}$
$=\frac{a^{2}}{24(a-1)^{3}}\left(12 a^{2}-17 a+6\right)$ ，
由题设知，点 $\left(x_{0}, 0\right)$ 在曲线 $y=f(x)$ 上，故 $f\left(x_{0}\right)=0$ ，

解得 $a=0$ ，或 $a=\frac{2}{3}$ 或 $a=\frac{3}{4}$
【点评】本题主要考查函数在某点取得极值的条件，考查分类讨论，函数与方程的思想，考查计算能力。