21．（12分）已知函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{1}{3} \mathrm{x}^{3}+\mathrm{x}^{2}+\mathrm{ax}$ ．
（1）讨论 $f(x)$ 的单调性；
②设 $f(x)$ 有两个极值点 $x_{1}, x_{2}$ ，若过两点 $\left(x_{1}, f\left(x_{1}\right)\right),\left(x_{2}, f\left(x_{2}\right)\right)$的直线 $l$ 与 x 轴的交点在曲线 $\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 上，求 a 的值．
参考答案
(1) ①当 $a \geq 1$ 时，$f^{\prime}(x) \geq 0$ ， 且仅当 $a=1, x=-1$ 时，$f^{\prime}(x)=0$ ， 所以 $f(x)$ 是 $R$ 上的增函数； ②当 $a<1$ 时，$f^{\prime}(x)=0$ ，有两个根， $x_{1}=-1-\sqrt{1-a}, \quad x_{2}=-1+\sqrt{1-a}$, 当 $x \in(-\infty,-1-\sqrt{1-a})$ 时，$f^{\prime}(x)>0, f(x)$ 是增函数． 当 $x \in(-1-\sqrt{1-a},-1+\sqrt{1-a})$ 时，$f^{\prime}(x)<0, f(x)$ 是减函数。 当 $x \in(-1+\sqrt{1-a},+\infty)$ 时，$f^{\prime}(x)>0, f(x)$ 是增函数。; (2) $a=0$ ，或 $a=\frac{2}{3}$ 或 $a=\frac{3}{4}$