（22）（本小题满分 14 分） 在数列 a_ n 中，…——2010 高考数学第 24 题答案解析

【解答】
本小题主要考查等差数列的定义及前 $n$ 项和公式、等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法 ，满分 14 分。
（I）证明：由题设可知，$a_{2}=a_{1}+2=2, a_{3}=a_{2}+2=4, a_{4}=a_{3}+4=8$ ，
$a_{5}=a_{4}+4=12$,
$a_{6}=a_{5}+6=18$ 。

从而 $\frac{a_{6}}{a_{5}}=\frac{a_{5}}{a_{4}}=\frac{3}{2}$ ，所以 $a_{4}, a_{5}, a_{6}$ 成等比数列。

（II）解：由题设可得 $a_{2 k+1}-a_{2 k-1}=4 k, k \in N^{*}$
所以 $a_{2 k+1}-a_{1}=\left(a_{2 k+1}-a_{2 k-1}\right)+\left(a_{2 k-1}-a_{2 k-3}\right)+\ldots\left(a_{3}-a_{1}\right)$

$$ \begin{aligned} & =4 k+4(k-1)+\ldots+4 \times 1 \\ & =2 k(k+1), k \in N^{*} \end{aligned} $$

由 $a_{1}=0$ ，得 $a_{2 k+1}=2 k(k+1)$ ，从而 $a_{2 k}=a_{2 k+1}-2 k=2 k^{2}$ ．
所以数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式为 $a_{n}=\left\{\begin{array}{l}\frac{n^{2}-1}{2}, n \text { 为奇数 } \\ \frac{n^{2}}{2}, n \text { 为偶数 }\end{array}\right.$ 或写为 $a_{n}=\frac{n^{2}}{2}+\frac{(-1)^{n}-1}{4}, n \in N^{*}$
（III）证明：由（II）可知 $a_{2 k+1}=2 k(k+1), a_{2 k}=2 k^{2}$ ，
以下分两种情况进行讨论：
①当 n 为偶数时，设 $\mathrm{n}=2 \mathrm{~m} ~\left(m \in N^{*}\right)$
若 $m=1$ ，则 $2 n-\sum_{k=2}^{n} \frac{k^{2}}{a_{k}}=2$ ，
若 $m \geq 2$ ，则

$$ \begin{aligned} & \sum_{k=2}^{n} \frac{k^{2}}{a_{k}}=\sum_{k=1}^{m} \frac{(2 k)^{2}}{a_{2 k}}+\sum_{k=1}^{m-1} \frac{(2 k+1)^{2}}{a_{2 k+1}}=\sum_{k=1}^{m} \frac{4 k^{2}}{2 k^{2}}+\sum_{k=1}^{m-1} \frac{4 k^{2}+4 k+1}{2 k(k+1)} \\ & \quad=2 m+\sum_{k=1}^{m-1}\left[\frac{4 k^{2}+4 k}{2 k(k+1)}+\frac{1}{2 k(k+1)}\right]=2 m+\sum_{k=1}^{m-1}\left[2+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k-1}\right)\right] \\ & \quad=2 m+2(m-1)+\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{m}\right)=2 n-\frac{3}{2}-\frac{1}{n} \end{aligned} $$

所以 $2 n-\sum_{k=2}^{n} \frac{k^{2}}{a_{k}}=\frac{3}{2}+\frac{1}{n}$ ，从而 $\frac{3}{2}<2 n-\sum_{k=2}^{n} \frac{k^{2}}{a_{k}}<2, n=4,6,8, \ldots$ ．
②当 n 为奇数时，设 $n=2 m+1\left(m \in N^{*}\right)$ 。

$$ \begin{aligned} \sum_{k=2}^{n} \frac{k^{2}}{a_{k}} & =\sum_{k=2}^{2 m} \frac{k^{2}}{a_{k}}+\frac{(2 m+1)^{2}}{a_{2 m+1}}=4 m-\frac{3}{2}-\frac{1}{2 m}+\frac{(2 m+1)^{2}}{2 m(m+1)} \\ & =4 m+\frac{1}{2}-\frac{1}{2(m-1)}=2 n-\frac{3}{2}-\frac{1}{n+1} \end{aligned} $$

所以 $2 n-\sum_{k=2}^{n} \frac{k^{2}}{a_{k}}=\frac{3}{2}+\frac{1}{n+1}$ ，从而 $\frac{3}{2}<2 n-\sum_{k=2}^{n} \frac{k^{2}}{a_{k}}<2, n=3,5,7, \ldots$ ．
综合①和②可知，对任意 $n \geq 2, n \in N^{*}$ ，有 $\frac{3}{2}<2 n-T_{n} \leq 2$ ．

## 天津2010年普通高等学校招生全国统一考试数学（文史类）试卷点评

总体来看，本套试卷涉及面比较广，面面俱到，注重基础的考察，很多题目和平时训练的题目模样差不多，总体同学们做起来不难。在稳定当中有创新，当然也有难题。考题创新主要体现在数列这道题上，就是第 22 题。具体来说：

选择题的 10 道题中，前 8 题出的形式比较常规，能够把考生稍微考住的也就是这个第九题和第十题。第九题我们在新东方课堂上曾经给大家讲过，这是关于向量要有意识用基底表示的考题，转成基底这道题就非常好做了。那么第十题，从表象上看这是一个分段函数，感觉很复杂，但是这道题和今年河西区的理科一模考试的题目非常雷同，大家做起来感觉应该是不太困难的。所以说，像前十道题，如果你的基础还不错的话，保证考试时不算错，那么得一个满分应该说是没有问题的。

填空最值得点评的就是第 16 题了，很多考生做的时候觉得比较困难，但是这道题和2007年天津文史类考题选择题第十题有很多雷同，所以这也验证了我们在考前给大家提到的一个重点：在复习时要更多的关注历年考题的思考方法。