（14分）已知椭圆 x^ 2 a^ 2 + y^ 2 b^…——2017 高考数学第 20 题答案解析

【解答】
（14分）（2017•天津）已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \quad(a>b>0)$ 的左焦点为 $F ~(-c$， 0 ），右顶点为 A，点 E 的坐标为 $(0, \mathrm{c}), \triangle \mathrm{EFA}$ 的面积为 $\frac{\mathrm{b}^{2}}{2}$．
（I）求椭圆的离心率；
（II）设点 Q 在线段 AE 上，$|\mathrm{FQ}|=\frac{3}{2} \mathrm{c}$，延长线段 FQ 与椭圆交于点 P，点 M， N 在 x轴上，$P M / / Q N$，且直线 $P M$ 与直线 $Q N$ 间的距离为 $c$，四边形 $P Q N M$ 的面积为 $3 c$．
（i）求直线 FP 的斜率；
（ii）求椭圆的方程．
【分析】（I）设椭圆的离心率为 e．通过 $\frac{1}{2}(\mathrm{c}+\mathrm{a}) \mathrm{c}=\frac{\mathrm{b}^{2}}{2}$．转化求解椭圆的离心率。
（II）（ i ）依题意，设直线 FP 的方程为 $\mathrm{x}=\mathrm{my}-\mathrm{c}(\mathrm{m}>0)$，则直线 FP 的斜率为 $\frac{1}{m}$．通过 $a=2 c$，可得直线 $A E$ 的方程为 $\frac{x}{2 c}+\frac{y}{c}=1$，求解点 $Q$ 的坐标为 $\left(\frac{(2 m-2) c}{m+2}, \frac{3 c}{m+2}\right)$．利用 $|F Q|=\frac{3 c}{2}$，求出 $m$，然后求解直线 $F P$ 的斜率．
（ii）求出椭圆方程的表达式你，求出直线 $F P$ 的方程为 $3 x-4 y+3 c=0$，与椭圆方程联立通过 $|\mathrm{FP}|=\sqrt{(\mathrm{c}+\mathrm{c})^{2}+\left(\frac{3 \mathrm{c}}{2}\right)^{2}}=\frac{5 \mathrm{c}}{2}$，结合直线 PM 和 QN 都垂直于直线 FP．结合四边形 PQNM 的面积为 3 c，求解 c，然后求椭圆的方程。
【解答】解：（I）设栯圆的离心率为 $e$．由已知，可得 $\frac{1}{2}(c+a) c=\frac{b^{2}}{2}$．又由 $b^{2} =a^{2}-c^{2}$，可得 $2 c^{2}+a c-a^{2}=0$，即 $2 e^{2}+e-1=0$．又因为 $0所以，椭圆的离心率为 $\frac{1}{2}$；
（II）（ i ）依题意，设直线 FP 的方程为 $\mathrm{x}=\mathrm{my}-\mathrm{c}(\mathrm{m}>0)$，则直线 FP 的斜率

为 $\frac{1}{\mathrm{~m}}$．
由（I）知 $a=2 c$，可得直线AE的方程为 $\frac{x}{2 c}+\frac{y}{c}=1$，即 $x+2 y-2 c=0$，与直线 $F P$ 的方程联立，可解得 $x=\frac{(2 m-2) c}{m+2}, y=\frac{3 c}{m+2}$，即点 $Q$ 的坐标为 $\left(\frac{(2 m-2) c}{m+2}, \frac{3 c}{m+2}\right)$．由已知 $|F Q|=\frac{3 c}{2}$，有 $\left[\frac{(2 m-2) c}{m+2}+c\right]^{2}+\left(\frac{3 c}{m+2}\right)^{2}=\left(\frac{3 c}{2}\right)^{2}$，整理得 $3 m^{2}-4 m=0$，所以 $\mathrm{IF}=\frac{4}{3}$，即直线 FP 的斜率为 $\frac{3}{4}$．
（ii）解：由 $a=2 c$，可得 $b=\sqrt{3} c$，故椭圆方程可以表示为 $\frac{x^{2}}{4 c^{2}}+\frac{y^{2}}{3 c^{2}}=1$．
由（i）得直线 $F P$ 的方程为 $3 x-4 y+3 c=0$，与椭圆方程联立 $\left\{\begin{array}{l}3 x-4 y+3 c=0 \\ \frac{x^{2}}{4 c^{2}}+\frac{y^{2}}{3 c^{2}}=1\end{array}\right.$ 消去 $y$，整理得 $7 x^{2}+6 c x-13 c^{2}=0$，解得 $x=-\frac{13 c}{7}$（舍去），或 $x=c$．因此可得点 $P\left(c, \frac{3 c}{2}\right.$ ），进而可得 $|F P|=\sqrt{(c+c)^{2}+\left(\frac{3 c}{2}\right)^{2}}=\frac{5 c}{2}$，所以 $|P Q|=|F P|-|F Q|=\frac{5 c}{2}-\frac{3 c}{2}=c$。 由

已知，线段 $P Q$ 的长即为 $P M$ 与 $Q N$ 这两条平行直线间的距离，故直线 $P M$ 和 $Q N$ 都垂直于直线 $F P$．
因为 $Q N \perp F P$，所以 $|Q N|=|F Q| \cdot \tan \angle Q F N=\frac{3 c}{2} \times \frac{3}{4}=\frac{9 c}{8}$，所以 $i \div F Q N$ 的面积为 $\frac{1}{2}|\mathrm{FQ}||\mathrm{QN}|=\frac{27 \mathrm{c}^{2}}{32}$，同理 $\mathrm{i} \div \mathrm{FPM}$ 的面积等于 $\frac{75 \mathrm{c}^{2}}{32}$，由四边形 PQNM 的面积为 3 c，得 $\frac{75 c^{2}}{32}-\frac{27 c^{2}}{32}=3 c$，整理得 $c^{2}=2 c$，又由 $c>0$，得 $c=2$．
所以，椭圆的方程为 $\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{12}=1$．
【点评】本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力。

参与本试卷答题和审题的老师有：zlzhan；maths；qiss；742048；sxs123；danb o7801；双曲线；caoqz（排名不分先后）

2017年6月26日