已知函数 f(x)= e ^ x -a x-a^ 3 ．…——2024 高考数学第 16 题答案解析

【答案】①$(\mathrm{e}-1) x-y-1=0$
②$(1,+\infty)$

## 【解析】

【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程；
（2）解法一：求导，分析 $a \leq 0$ 和 $a>0$ 两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得 $a^{2}+\ln a-1>0$ ，构建函数解不等式即可；解法二：求导，可知 $f^{\prime}(x)=\mathrm{e}^{x}-a$ 有零点，可得 $a>0$ ，进而利用导数求 $f(x)$ 的单调性和极值，分析可得 $a^{2}+\ln a-1>0$ ，构建函数解不等式即可．

## 【小问 1 详解】

当 $a=1$ 时，则 $f(x)=\mathrm{e}^{x}-x-1, f^{\prime}(x)=\mathrm{e}^{x}-1$ ，

可得 $f(1)=\mathrm{e}-2, ~ f^{\prime}(1)=\mathrm{e}-1$ ，

即切点坐标为 $(1, \mathrm{e}-2)$ ，切线斜率 $k=\mathrm{e}-1$ ，
所以切线方程为 $y-(\mathrm{e}-2)=(\mathrm{e}-1)(x-1)$ ，即 $(\mathrm{e}-1) x-y-1=0$ ．

## 【小问 2 详解】

解法一：因为 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbf{R}$ ，且 $f^{\prime}(x)=\mathrm{e}^{x}-a$ ，

若 $a \leq 0$ ，则 $f^{\prime}(x) \geq 0$ 对任意 $x \in \mathbf{R}$ 恒成立，
可知 $f(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上单调递增，无极值，不合题意；
若 $a>0$ ，令 $f^{\prime}(x)>0$ ，解得 $x>\ln a$ ；令 $f^{\prime}(x)<0$ ，解得 $x<\ln a$ ；
可知 $f(x)$ 在 $(-\infty, \ln a)$ 内单调递减，在 $(\ln a,+\infty)$ 内单调递增，
则 $f(x)$ 有极小值 $f(\ln a)=a-a \ln a-a^{3}$ ，无极大值，
由题意可得：$f(\ln a)=a-a \ln a-a^{3}<0$ ，即 $a^{2}+\ln a-1>0$ ，
构建 $g(a)=a^{2}+\ln a-1, a>0$ ，则 $g^{\prime}(a)=2 a+\frac{1}{a}>0$ ，
可知 $g(a)$ 在 $(0,+\infty)$ 内单调递增，且 $g(1)=0$ ，
不等式 $a^{2}+\ln a-1>0$ 等价于 $g(a)>g(1)$ ，解得 $a>1$ ，
所以 $a$ 的取值范围为 $(1,+\infty)$ ；

解法二：因为 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbf{R}$ ，且 $f^{\prime}(x)=\mathrm{e}^{x}-a$ ，

若 $f(x)$ 有极小值，则 $f^{\prime}(x)=\mathrm{e}^{x}-a$ 有零点，

令 $f^{\prime}(x)=\mathrm{e}^{x}-a=0$ ，可得 $\mathrm{e}^{x}=a$ ，

可知 $y=\mathrm{e}^{x}$ 与 $y=a$ 有交点，则 $a>0$ ，

若 $a>0$ ，令 $f^{\prime}(x)>0$ ，解得 $x>\ln a$ ；令 $f^{\prime}(x)<0$ ，解得 $x<\ln a$ ；

可知 $f(x)$ 在 $(-\infty, \ln a)$ 内单调递减，在 $(\ln a,+\infty)$ 内单调递增，
则 $f(x)$ 有极小值 $f(\ln a)=a-a \ln a-a^{3}$ ，无极大值，符合题意，
由题意可得：$f(\ln a)=a-a \ln a-a^{3}<0$ ，即 $a^{2}+\ln a-1>0$ ，

构建 $g(a)=a^{2}+\ln a-1, a>0$ ，

因为则 $y=a^{2}, y=\ln a-1$ 在（ $0,+\infty$ ）内单调递增，
可知 $g(a)$ 在 $(0,+\infty)$ 内单调递增，且 $g(1)=0$ ，
不等式 $a^{2}+\ln a-1>0$ 等价于 $g(a)>g(1)$ ，解得 $a>1$ ，

所以 $a$ 的取值范围为 $(1,+\infty)$ ．