（16分）（2015•江苏）已知函数 f ( x )= x…——2015 高考数学第 19 题答案解析

【解答】
（16分）
考点 利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．
：
专题 综合题；导数的综合应用．
：
分析（1）求导数，分类讨论，利用导数的正负，即可得出 $f(x)$ 的单调性；
②由（1）知，函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的两个极值为 $\mathrm{f}(0)=\mathrm{b}, \mathrm{f}\left(-\frac{2 \mathrm{a}}{3}\right)=\frac{4}{27} \mathrm{a}^{3}+\mathrm{b}$ ，则函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 有三个不同的零点等价于 $\mathrm{f}(0) \mathrm{f}\left(-\frac{2 \mathrm{a}}{3}\right)=\mathrm{b}\left(\frac{4}{27} \mathrm{a}^{3}+\mathrm{b}\right)<0$ ，进一步转化为 $\mathrm{a}>0$ 时，$\frac{4}{27} \mathrm{a}^{3}-\mathrm{a}+\mathrm{c}>0$ 或 $\mathrm{a}<0$ 时，$\frac{4}{27} \mathrm{a}^{3}-\mathrm{a}+\mathrm{c}<0$ ．设 $\mathrm{g}(\mathrm{a})=\frac{4}{27} \mathrm{a}^{3}-\mathrm{a}+\mathrm{c}$ ，利用条件即可求 c 的值．

解答 解：（1）$\because f(x)=x^{3}+a x^{2}+b$ ，
：$\quad \therefore \mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{x})=3 \mathrm{x}^{2}+2 \mathrm{ax}$ ，
令 $f^{\prime}(x)=0$ ，可得 $x=0$ 或 $-\frac{2 a}{3}$ ．
$a=0$ 时，$f^{\prime}(x)>0, \therefore f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上单调递增；
$a>0$ 时，$x \in\left(-\infty,-\frac{2 a}{3}\right) \cup(0,+\infty)$ 时，$f^{\prime}(x)>0, x \in\left(-\frac{2 a}{3}, 0\right)$ 时，$f^{\prime}(x$ ）$<0$ ，
∴ 函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 在 $\left(-\infty,-\frac{2 \mathrm{a}}{3}\right),(0,+\infty)$ 上单调递增，在 $\left(-\frac{2 \mathrm{a}}{3}, 0\right)$ 上单调递减；
$a<0$ 时，$x \in(-\infty, 0) \cup\left(-\frac{2 a}{3},+\infty\right)$ 时，$f^{\prime}(x)>0, x \in\left(0,-\frac{2 a}{3}\right)$ 时，$f^{\prime}(x$ ）$<0$ ，
∴ 函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 在 $(-\infty, 0),\left(-\frac{2 \mathrm{a}}{3},+\infty\right)$ 上单调递增，在 $\left(0,-\frac{2 \mathrm{a})}{3}\right.$ 上单调递减；
（2）由（1）知，函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的两个极值为 $\mathrm{f}(0)=\mathrm{b}, \mathrm{f}\left(-\frac{2 \mathrm{a}}{3}\right)=\frac{4}{27} \mathrm{a}^{3}+\mathrm{b}$ ，则函
数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 有三个不同的零点等价于 $\mathrm{f}(0) \mathrm{f}\left(-\frac{2 \mathrm{a}}{3}\right)=\mathrm{b}\left(\frac{4}{27} \mathrm{a}^{3}+\mathrm{b}\right)<0$ ，
$\because \mathrm{b}=\mathrm{c}-\mathrm{a}$,
$\therefore a>0$ 时，$\frac{4}{27} a^{3}-a+c>0$ 或 $a<0$ 时，$\frac{4}{27} a^{3}-a+c<0$ ．
设 $\mathrm{g}(\mathrm{a})=\frac{4}{27} \mathrm{a}^{3}-\mathrm{a}+\mathrm{c}$ ，
∵ 函数 $f(x)$ 有三个不同的零点时，$a$ 的取值范围恰好是 $(-\infty,-3) \cup\left(1, \frac{3}{2}\right) \cup \left(\frac{3}{2},+\infty\right)$,
∴ 在 $(-\infty,-3)$ 上， $\mathrm{g}(\mathrm{a})<0$ 且在 $\left(1, \frac{3}{2}\right) \cup\left(\frac{3}{2},+\infty\right)$ 上 $\mathrm{g}(\mathrm{a})>0$ 均恒成立 ，
$\therefore g(-3)=c-1 \leq 0$ ，且 $g\left(\frac{3}{2}\right)=c-1 \geq 0$ ，
$\therefore \mathrm{c}=1$,
此时 $f(x)=x^{3}+a x^{2}+1-a=(x+1)\left[x^{2}+(a-1) x+1-a\right]$ ，
∵ 函数有三个零点，
$\therefore \mathrm{x}^{2}+(\mathrm{a}-1) \mathrm{x}+1-\mathrm{a}=0$ 有两个异于 -1 的不等实根，
$\therefore \Delta=(a-1)^{2}-4(1-a)>0$ ，且 $(-1)^{2}-(a-1)+1-a \neq 0$ ，
解得 $\mathrm{a} \in(-\infty,-3) \cup\left(1, \frac{3}{2}\right) \cup\left(\frac{3}{2},+\infty\right)$ ，
综上 $\mathrm{c}=1$.
点评 本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查函数的零点，考查分类讨

：论的数学思想，难度大．